Matura 2010: matematyka rozszerzona

[Gromo]

Hmm, o ile sie nie myle dziedzina w zadaniu z trojkatem w kwadracie byl przedzial \(\displaystyle{ <0; \frac{1}{2}>}\)

[xanowron]

Nawet powinny być większe , mniejsze, ale nie wiem jak to w LateXie zapisać.

\(\displaystyle{ < \ \ >}\) Ja mam u siebie na klawiaturze pomiędzy "M", a "?"

[pelas_91]

Hmm, o ile sie nie myle dziedzina w zadaniu z trojkatem w kwadracie byl przedzial \(\displaystyle{ <0; \frac{1}{2}>}\)

Oczywiście, należało zaznaczyć iż \(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases}}\) Nawet powinny być większe , mniejsze, ale nie wiem jak to w LateXie zapisać.

Najpierw wypadałoby podać co rozumiecie przez x, bo odcinki na bokach kwadratu można było sobie oznaczyć x i 2x, ale równie dobrze x i 0,5x.

[bossu01]

W treści zadania było narzucone, że x = |DF|, więc raczej z tego wszyscy korzystali, no chyba, że po swojemu inne literki wprowadzili i nie dali x i 2x tylko 0,5m i m --> (x = 0,5m) ale to się raczej mijało z celem

[pelas_91]

W treści zadania było narzucone, że x = |DF|, więc raczej z tego wszyscy korzystali, no chyba, że po swojemu inne literki wprowadzili i nie dali x i 2x tylko 0,5m i m --> (x = 0,5m) ale to się raczej mijało z celem

Faktycznie, masz rację. Z czasem zapomniałem dokładną treść zadania.
No ale przy takich oznaczeniach jak w treści to dziedzina powinna być CHYBA \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2} )}\) ponieważ \(\displaystyle{ 2x<1}\). I przynajmniej w moim arkuszu był to przedział otwarty bo dla 0 trudno mówić o jakimkolwiek trójkącie a dla 0,5 punkt E staje się punktem B co jakoś odruchowo wydało mi się nienaturalne [choć jak ktoś się uprze to E=B też należy do boku BC].

-- 10 maja 2010, 09:17 --

Co ciekawe na zadania.info w rozwiązaniu w ogóle nie podają dziedziny tylko za każdym razem piszą że 0,25 należy do dziedziny funkcji.

[bossu01]

Co do dziedziny \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2} )}\) to muszę się zgodzić, ponieważ dla x równego 0 i 0,5 nie ma mowy o trójkącie, co innego, że na maturze o dziedzinie nie pomyślałem, a gdy otrzymałem \(\displaystyle{ x = \frac{1}{4}}\) stwierdziłem, że jest ok i robiłem następne zadania

@edit

Faktycznie to byłby bardzo specyficzny przypadek, ale może jednak należałoby go włączyć do dziedziny - \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2} >}\)

[pelas_91]

Dla 0,5 on istnieje, z tym że tak jak napisałem punkt E staje się nagle punktem B, a z czymś takim w życiu się nie spotkałem.

[makuu]

W zadaniu z ciągiem, gdzie obliczyłem to z układu równań z 3 niewiadomymi:
c-b=b-a
b+4/a+1=c+19/b+4
a+c=10

Czy trzeba było podać dziedzinę, dla a+1 różne od zera i b+4 różne od zera?
Ten ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny, sam nie wiem czy może odebrać jakieś punkty??

[bossu01]

Wydaje mi się, że w zadaniu z ciągiem nie powinni wymagać dziedziny

[Mario58]

makuu,

ja zapisałem tak
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \frac{a+c}{2} \\
(b+4) ^{2} =(a+1)(c+19)\end{cases}}\)

Pierwsze równanie - warunek by ciąg \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) był arytmetyczny, a drugi - był ciąg \(\displaystyle{ (a+1,b+4,c+19)}\) był geometryczny.

Momentalnie masz b, które wstawiasz do drugiego.

Mój zapis powoduje ominięcie wszelkich rozważań typu "coś tam mi się wyzeruje, ile mi odetną punktów".
W zadaniu myliłem się rachunkowo, dobrnąłem na szczęście do końca, siedzenie na II etapach OMów coś dało.

[makuu]

Tak, tyle że na dobrą sprawę jeśli ciąg geometryczny ma wszystkie wyrazy równe zero (czyli wystarczy żeby pierwszy był zero) to wtedy \(\displaystyle{ q}\) może być jakiekolwiek, bo \(\displaystyle{ a_1=0}\) razy \(\displaystyle{ q}\) też daje \(\displaystyle{ 0}\) i tak w koło macieju.W takim wypadku te wzory jakie zastosowałeś też oczywiście są prawdziwe, natomiast moim sposobem, wychodziłoby na to że to co w mianowniku nie może być zerowe, bo wtedy mielibyśmy ułamek coś tam przez \(\displaystyle{ 0}\), czyli ciąg geometryczny zerowy nie mógłby być. Z drugiej jednak strony warunkiem na istnienie c.geometrycznego jest także to co ja zapisałem czyli \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\).Ciekawy paradoks
Jak masz ciąg geometryczny zerowy, to jeden z warunków na taki ciąg czyli \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\) byłby sprzeczny bo przecież nie można dzielić przez \(\displaystyle{ 0}\).

Tak w ogóle ciąg geometryczny może mieć wszystkie wyrazy równe \(\displaystyle{ 0}\) ? sam już nie wiem.Spotkałem się raz z zadaniem:" Niezerowy c.geometryczny ...", więc wynikałoby że chyba może.

PS.Jeśli nie wyznaczenie dziedziny w tym zadaniu, byłoby moim błędem, wynikałoby z tego że ciąg geometryczny zerowy być nie może, bo dziedzina ta przecież brzmiałaby że a2 różne od 0 i a1 różne od zera...

[Jan Kraszewski]

Tak w ogóle ciąg geometryczny może mieć wszystkie wyrazy równe 0 ? sam już nie wiem.Spotkałem się raz z zadaniem:" Niezerowy c.geometryczny ...", więc wynikałoby że chyba może.

To zależy tylko i wyłącznie od przyjętej definicji. Twój "paradoks" bierze się stąd, że mieszasz ze sobą dwie definicje. Jeżeli stosujesz definicję "iloczynową", to ciąg zerowy jest geometryczny, a jeśli "ilorazową", to nie, bo ta definicja wymaga niezerowości wyrazów ciągu.

JK

PS. Definicja "iloczynowa" nie jest równoważna z "ilorazową", ale ponieważ różnią się tylko na "specyficznych" ciągach, więc w praktyce nie stwarza to kłopotów. Oczywiście, jak do definicji "iloczynowej" doda się założenie niezerowości wyrazów, to już będą równoważne.

[makuu]

W takim wypadku, jeśli zrobiłem to "ilorazowo" nie wiem, czy należało napisać, że to co w mianownikach różne od zera (czyli de facto wyrazy pierwszy i drugi różne od zera)... Mam tylko nadzieję że za nienapisanie nie odejmą żadnego punktu, bo to byłaby już przesada, bo w żadnej definicji nie znalazłem że c.geometryczny nie może mieć wyrazów wszystkich równych zero...

Natomiast to JEST paradoksem; jeśli zakłada się że mianownik nie może być równy zero, a własność ciągu g. to \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\), to jednoznacznie ciąg geometryczny zerowy nie mógłby istnieć. Twierdzenie że to nie paradoks jest równoważne z twierdzeniem, że \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\) nie jest jedną z własności ciągu geometrycznego

[Canthar]

Natomiast to JEST paradoksem; jeśli zakłada się że mianownik nie może być równy zero, a własność ciągu g. to a3/a2=a2/a1, to jednoznacznie ciąg geometryczny zerowy nie mógłby istnieć. Twierdzenie że to nie paradoks jest równoważne z twierdzeniem, że a3/a2=a2/a1 nie jest jedną z własności ciągu geometrycznego

Warto też zauważyć, że dla ciągu \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) jest spełniony warunek \(\displaystyle{ a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}}\), a ciąg geometryczny nie jest. Po prostu implikacje idą tylko w jedną stronę, a z tego co Ty napisałeś lepiej nie korzystać

[Jan Kraszewski]

Natomiast to JEST paradoksem; jeśli zakłada się że mianownik nie może być równy zero, a własność ciągu g. to \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\), to jednoznacznie ciąg geometryczny zerowy nie mógłby istnieć.

Nie rozumiem, gdzie tu paradoks. Zgodnie z definicją "ilorazową" ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.

Twierdzenie że to nie paradoks jest równoważne z twierdzeniem, że \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\) nie jest jedną z własności ciągu geometrycznego

A skąd wiesz, że ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest geometryczny?

Warto też zauważyć, że dla ciągu \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) jest spełniony warunek \(\displaystyle{ a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}}\), a ciąg geometryczny nie jest. Po prostu implikacje idą tylko w jedną stronę, a z tego co Ty napisałeś lepiej nie korzystać

Zgodnie z definicją "iloczynową" ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) jest geometryczny. Jest to dość dziwne, ale trzeba pamiętać, że definicja ciągu geometrycznego dotyczy w zasadzie ciągu nieskończonego, a tam nie ma takich problemów.

JK