Równanie wymierne z parametrem

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 9 maja 2010, o 22:06

Witam,
Bardzo pilnie potrzebuję, aby ktoś wytłumaczył mi krok po kroku jak się rozwiązuje równania wymierne z parametrem. Jakoś nie za bardzo mogę to zrozumieć. Na przykład takie coś:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+a} = 3}\)

Z góry dzięki.

glaeddyv · Post autor: **glaeddyv** » 9 maja 2010, o 22:09

a jaka jest treść zadania? bo generalnie jak jest parametr to chodzi o cos konkretnego... np. ilość rozwiązań

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 9 maja 2010, o 22:10

\(\displaystyle{ a \neq -x}\)

Zgodnie z powyższym mianownik jest różny od zera, a więc:

\(\displaystyle{ x-1=3(x+a)\\ x-1=3x+3a\\ -2x=3a+1 \\ x = \frac{-3a-1}{2}}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 9 maja 2010, o 22:13

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+a} = 3}\)

założenie \(\displaystyle{ x \neq -a}\)

Mnożymy obie strony przez mianownik
\(\displaystyle{ x-1 = 3(x+a)}\)
opuszczamy nawiasy
\(\displaystyle{ x-1 = 3x+3a}\)
przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, a wyrazy wolne na prawą (ze zmienionym znakiem)
\(\displaystyle{ x-3x=3a+1}\)
redukujemy wyrazy podobne
\(\displaystyle{ -2x=3a+1}\)
dzielimy obie strony przez współczynnik cyfrowy stojący przezd niewiadomą
\(\displaystyle{ x=- \frac{3}{2}a- \frac{1}{2}}\)

Równanie ma jedno rózwiązanie dla \(\displaystyle{ a \in R}\)

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 9 maja 2010, o 22:16

Treść to rozwiąż równanie.

@JakimPL
Do momentu wyliczenia x dochodzę i to rozumiem. Tylko potem w notatkach mam, że wyliczają z tego jakieś a, i odpowiedź że dla takiego a równanie ma rozwiązanie to co wyliczyłeś.. Tego właśnie nie rozumiem.

@nmn
Tylko właśnie w odpowiedziach to nie jest dla \(\displaystyle{ a \in R}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 9 maja 2010, o 22:18

A jaka jest odpowiedź?

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 9 maja 2010, o 22:20

Dla \(\displaystyle{ a \neq -1}\) odpowiedź taka jak wyliczyłaś, a dla \(\displaystyle{ a = 1}\) równanie sprzeczne.

kam_new93 · Post autor: **kam_new93** » 9 maja 2010, o 22:23

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+a} \Rightarrow x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1zatem \Rightarrow a \neq -1 \wedge x+a \neq 0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow x+a \neq 0 \Rightarrow 1-1 \neq 0}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 9 maja 2010, o 22:25

dla \(\displaystyle{ a=1}\) nie jest sprzeczne
\(\displaystyle{ x=-2}\)

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 9 maja 2010, o 22:27

No ale właśnie dlaczego tak to się liczy. Prosiłbym o wytłumaczenie szczegółowo każdego kroku. Chciałbym to zrozumieć..

@nmn
Sorry, pomyłka. Tam miało być \(\displaystyle{ a=-1}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 9 maja 2010, o 22:32

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+a} = 3}\)
Nie wiem czy to trzeba liczyć. Wystarczy zauważyć (co ja osobiście przegapilam), że dla \(\displaystyle{ a=-1}\) równanie przybiera postać:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-1} = 3}\)
\(\displaystyle{ 1=3}\)
co nie jest prawdą.

bartex9 · Post autor: **bartex9** » 9 maja 2010, o 22:41

Dobra. Nie oto dokładnie mi chodziło, ale już załapałem Dzięki za pomoc.