Granica wykładnik przez silnię

[artur007]

Witam,

Należy policzyć granicę. Standardowo umiem je liczyć ale w zadaniu pojawiła się silnia, co mnie rozłożyło na łopatki... Oto zadanie:

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} + 3 ^{2n} }{n!}}\)

jak się objeść z silnią?

[wszamol]

Skorzystaj z kryterium zbieżności do zera.

[mathX]

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} + 3 ^{2n} }{n!}= \frac{2^{n}}{n!} + \frac{3 ^{2n}}{n!}}\)

Można zobaczyć, co się dzieje np. z ilorazem takiego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{ 2^{n+1} }{(n+1)!}}{\frac{ 2^{n} }{n!}}= \frac{2}{n+1}}\) Można wysnuć wniosek że mianownik jest większy od licznika dla \(\displaystyle{ n>2}\) i jest on coraz większy, czyli granicą jest tutaj zero.

Drugi analogicznie. Potem suma granic jest granica sumy.

Pozdrawiam.

[artur007]

ooo dzięki. Na to z ilorazem nigdy bym nie wpadł. Drugie już z górki.

[artur007]

ale kicha... okazało się że źle przepisałem przykład, i to nie było:

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} + 3 ^{2n} }{n!}}\)

a

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} * 3 ^{2n} }{n!}}\)

Tego już tak się nie da rozdzielić... Jakieś sugestie?

[wszamol]

\(\displaystyle{ 2 ^{n} \cdot 3 ^{2n}=(2 \cdot 3 ^{2}) ^{n}=18 ^{n}}\)

dalej wiadomo jak?

[artur007]

silnia mnie boli :/ ale na takie złączenie licznika też bym nie wpadł : ] Rozumiem że mogę zrobić tak jak w przykładzie z dodawaniem. Czyli: \(\displaystyle{ \frac{f(x+1)}{f(x)}}\)?

[wszamol]

tak, jest to kryterium zbieżności do zera

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }| \frac{a _{n+1} }{a _{n} }|<1 \Rightarrow \lim_{ n\to \infty }a _{n}=0}\)

[artur007]

wyszło mi: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\frac{18}{n+1} = \lim_{x \to \infty }0}\) Dzięki za wskazówki z tymi trikami silni i złączeniem wykładników.

Jesteście niesamowici na tym forum :] Dzięki Wam zaliczyłem algebrę i może analizę też zaliczę.