Mam problem z tym oto zadaniem:
Udowodnij, że jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, to liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+n+1}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}}\) są niewymierne
Udowadnianie niewymierności
-
kaczanga87
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 27 wrz 2009, o 16:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2951
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 500 razy
Udowadnianie niewymierności
Pokażemy to poprzez sprzeczność. Załóżmy, że gdy \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+n+1}}\) jest wymierna, tzn:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+n+1}=\frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ NWD(p;q)=1 \wedge q \neq 0}\).
Gdy jedna z liczb p lub q jest ujemna to równość nie jest prawdziwa, wówczas od razu mamy tezę. Przyjmijmy teraz, że prawa strona równania jest nieujemna, zatem po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ n^{2}+n+1=\frac{p^2}{q^2}\\
n(n+1)=\frac{p^2}{q^2}-1}\)
Lewa strona równania jest podzielna przez dwa (wynika to z zasady szufladkowej Dirichleta zastosowanej do reszt z dzielenia przez 2). Wykażemy teraz, że: \(\displaystyle{ 2 \nmid \frac{p^2}{q^2}-1}\). Istotnie, bo jeżeli liczby p i q są względnie pierwsze to albo jedna z nich jest parzysta a wtedy druga nie lub obydwie są nieparzyste. W obu przypadkach \(\displaystyle{ 2 \nmid \frac{p^2}{q^2}-1}\). Można sprawdzić to algebraicznie:
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}-1=2k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{C}}\)
Wówczas po przekształceniach:
\(\displaystyle{ (p-q)(p+q)=2kq^2}\) Ta równość oczywiście nie zachodzi (dlaczego?).
Podobnie wykazujemy, że druga liczba jest niewymierna - pozostawiam jako ćwiczenie.
\(\displaystyle{ \sqrt{n^{2}+n+1}=\frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ NWD(p;q)=1 \wedge q \neq 0}\).
Gdy jedna z liczb p lub q jest ujemna to równość nie jest prawdziwa, wówczas od razu mamy tezę. Przyjmijmy teraz, że prawa strona równania jest nieujemna, zatem po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ n^{2}+n+1=\frac{p^2}{q^2}\\
n(n+1)=\frac{p^2}{q^2}-1}\)
Lewa strona równania jest podzielna przez dwa (wynika to z zasady szufladkowej Dirichleta zastosowanej do reszt z dzielenia przez 2). Wykażemy teraz, że: \(\displaystyle{ 2 \nmid \frac{p^2}{q^2}-1}\). Istotnie, bo jeżeli liczby p i q są względnie pierwsze to albo jedna z nich jest parzysta a wtedy druga nie lub obydwie są nieparzyste. W obu przypadkach \(\displaystyle{ 2 \nmid \frac{p^2}{q^2}-1}\). Można sprawdzić to algebraicznie:
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}-1=2k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{C}}\)
Wówczas po przekształceniach:
\(\displaystyle{ (p-q)(p+q)=2kq^2}\) Ta równość oczywiście nie zachodzi (dlaczego?).
Podobnie wykazujemy, że druga liczba jest niewymierna - pozostawiam jako ćwiczenie.
-
xanowron
- Użytkownik
- Posty: 1934
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Udowadnianie niewymierności
Dodam od siebie tylko, że \(\displaystyle{ n(n+1)}\) to po prostu iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, zatem jedna z nich jest parzysta z czego wynika parzystość iloczynu. (Moim zdaniem zastosowanie tu ZSD mija się z celem, armata na muchę)
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 485 razy
Udowadnianie niewymierności
Da się nieco szybciej
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in \mathbb{Q}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in \mathbb{N}}\).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{N}}\) są względnie pierwsze. Wówczas \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2} = x \in \mathbb{N}}\) i skoro \(\displaystyle{ p,q}\) są względnie pierwsze, to musi być \(\displaystyle{ q=1}\).
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n+1} = x, \quad x\in \mathbb{Q}}\). Z lematu wynika, że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\). Mamy jednak \(\displaystyle{ n^2 < n^2+n+1 < (n+1)^2}\), więc \(\displaystyle{ x^2}\) znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych, sprzeczność.
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in \mathbb{Q}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in \mathbb{N}}\).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{N}}\) są względnie pierwsze. Wówczas \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2} = x \in \mathbb{N}}\) i skoro \(\displaystyle{ p,q}\) są względnie pierwsze, to musi być \(\displaystyle{ q=1}\).
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n+1} = x, \quad x\in \mathbb{Q}}\). Z lematu wynika, że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\). Mamy jednak \(\displaystyle{ n^2 < n^2+n+1 < (n+1)^2}\), więc \(\displaystyle{ x^2}\) znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych, sprzeczność.