całki oznaczone-jaką matodą?

[ewelinna]

Bardzo prosazę o podpowiedź, jaką medotą mogę policzyć te całki?
1) \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{1}{3} lnx} \frac{e ^{x} dx}{1+e ^{2x} }}\)
2) \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e ^{x} cos ^{2}xdx}\)
3) \(\displaystyle{ \int_{ \frac{-1}{2} }^{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } arcsinxdx}\)
4) \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{15} \sqrt{1+3x ^{8} } dx}\)
z góry bardzo dziękuje za pomoc

[mcbob]

1) podstawienie
2) przez części
3) przez części
4) tu chyba też podstawienie ale to taka pierwsza myśl,nie mam czasu sprawdzić

[Nakahed90]

4) tu chyba też podstawienie ale to taka pierwsza myśl,nie mam czasu sprawdzić

Zgadza się, w czwartym trzeba użyć metody podstawienia.

[ewelinna]

1) a jakie podtsawienie? \(\displaystyle{ e ^{x} =t}\) ? a czy to rpawda że \(\displaystyle{ e ^{2x} =e ^{x ^{2} }}\) ??
4)a jakie tutaj zrobić podstawienie?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ e^{2x}=(e^x)^2 \\ t^2=1+3x^8}\)

[ewelinna]

2) gdy próbuje przez części policzyć wychodzi mi całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e ^{x} \frac{1}{2} (sinxcosx+x)}\) do policzenia, a jak to policzyć to juz naprawde nie wiem
4) to wychodzi bardzo skomplikowane to takim podtsaiwniu, nie ma innego sposobu?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ cos^2 x=\frac{cos2x+1}{2}}\)

[Eszi]

2)
\(\displaystyle{ \int\limits^{\pi}_{0}e^x\cos^2{x} \mbox{d}x \\\\f=\cos^2{x} \wedge g'=e^x \Rightarrow f'=-2\cos{x} \sin{x} \wedge g=e^x\\\\\int e^x\cos^2{x} \mbox{d}x =e^x\cos^2{x}+2\int \cos{x}\sin{x} e^x \mbox{d}x =e^x\cos^2{x}+\int e^x \sin{2x} \mbox{d}x =e^x\cos^2{x}+\frac{e^x}{5}\left(-2\cos{2x}+\sin{2x}\right)+C\\\\\int\limits^{\pi}_{0}e^x\cos^2{x} \mbox{d}x =\left[e^x\cos^2{x}+\frac{e^x}{5}\left(-2\cos{2x}+\sin{2x}\right)\right|^{\pi}_{0}=\left[ e^{\pi}\cos^2{\pi}+\frac{e^{\pi}}{5}\left(-2\cos{2\pi}+\sin{2\pi}\right)\right]-\left[e^0\cos^2{0}+\frac{e^0}{5}\left(-2\cos{0}+\sin{0}\right)\right]=\left[e^{\pi}+\frac{e^\pi}{5}-2\right]-\left[1+\frac{1}{5}-2\right]=\frac{6e^\pi-6}{5}}\)

[Nakahed90]

Zgubiłeś g(x)

[Eszi]

Poprawione

[Nakahed90]

I teraz się już zgadza.