Pełny przebieg zmienności funkcji

[adamknur]

Witam NAJlepszych użytkowników, NAJlepszego forum internetowego, NAJlepszej dziedziny nauk w NAJlepszym kraju na świecie

Prosiłbym o pomoc przy rozwiązaniu następującego zadania:
\(\displaystyle{ f(x)=(x+7)^{2} \cdot e^{4x}}\)

1) Wyznaczyć dziedzinę i sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji;
\(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ f(-x)\neq f(x)}\) dlatego nie jest parzysta ?
nie jest nieparzysta -jak udowodnić?

2) Obliczyć punkty przecięcia z osiami;
Z osią X: \(\displaystyle{ (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=0 \Rightarrow (x^{2}+14x+49) \cdot e^{4x}=0}\) -utknąłem
Z osią Y: \(\displaystyle{ f(0)=49}\)

3) Wyznaczyć granice funkcji na końcach określoności dziedziny;
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=}\)-utknąłem

4) Wyznaczyć asymptoty;
Brak asymptot pionowych bo \(\displaystyle{ x\in R}\) ?
Poziome, Ukośne -utknąłem

5) Określić przedziały monotoniczności funkcji;
-utknąłem

6) Znaleźć ekstrema funkcji;
-utknąłem

7) Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji;
-utknąłem

8) Znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji;
-utknąłem

9) Stworzyć tabelę zmienności;
-utknąłem

10) Narysować wykres funkcji.
-utknąłem

Liczę na WAS

[N4RQ5]

Trochę tego jest a pora niezbyt dobra więc zajmę się punktami pierwszymi z brzegu.

\(\displaystyle{ f(x)=(x+7)^{2} \cdot e^{4x}}\)

1) Wyznaczyć dziedzinę i sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji;
\(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ f(-x)\neq f(x)}\) dlatego nie jest parzysta ?
nie jest nieparzysta -jak udowodnić?

\(\displaystyle{ f(1) = 64e^4}\)
\(\displaystyle{ f(-1) = 36e^{-4}}\)
a więc
\(\displaystyle{ f(x) \neq -f(-x)}\)
dla wszystkich x.
Ten sam kontrprzykład obala parzystość.

2) Obliczyć punkty przecięcia z osiami;
Z osią X: \(\displaystyle{ (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=0 \Rightarrow (x^{2}+14x+49) \cdot e^{4x}=0}\) -utknąłem

Funkcja jest iloczynem dwóch czynników. Drugi z nich czyli \(\displaystyle{ e^{4x}}\) jest zawsze dodatni więc miejsca zerowe możesz mieć tylko w miejscu zerowania się pierwszego czynnika czyli zwykłego wielomianu kwadratowego. Liczę że potrafisz znaleźć jego pierwiastki sam. Bo mówiąc szczerze nie chce mi się tego tłumaczyć o 6 nad ranem

3) Wyznaczyć granice funkcji na końcach określoności dziedziny;
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=}\)-utknąłem

Ponownie spójrz na funkcję jako na iloczyn dwóch rzeczy. Idąc w prawą stronę oba te czynniki rosną do nieskończoności zatem cały iloczyn też.
Z granicą w \(\displaystyle{ -\infty}\) nie jest już tak trywialnie. \(\displaystyle{ e^{4x}}\) zbiega tam do zera. Mała manipulacja na wzorze funkcji prowadzi do postaci:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{(x+7)^2}{e^{-4x}}}\)
Co powinno nasunąć na myśl od razu zastosowanie reguły de l'Hospitala. Trzeba zrobić to dwukrotnie dla ostatecznego wyniku i w efekcie dostać że \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0}\)

[adamknur]

N4RQ5 - Dzięki Wielkie za Bardzo dobre wytłumaczenie. Podpunkty 1-3 są teraz dla mnie jasne.

Będę Bardzo wdzięczny za pomoc przy kolejnych podpunktach 4-10 -- 10 maja 2010, o 00:43 --Powalczyłem z tym trochę i wyszło mi tak. Będę BARDZO wdzięczny za sprawdzenie

3) Wyznaczyć granice funkcji na końcach określoności dziedziny;

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=[- \infty \cdot 0]=\lim_{x\to-\infty} \frac{(x+7)^{2}}{e^{-4x}}=[\frac{ \infty }{ \infty }]\stackrel{[H]}{=}\frac{2x+14}{e^{-4x}}=[\frac{ \infty }{ \infty }]\stackrel{[H]}{=}\frac{2}{e^{-4x}}=0}\)

4) Wyznaczyć asymptoty:

*Brak asymptot pionowych bo \(\displaystyle{ x\in R}\) ?

*Poziome
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=+\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=0}\)

Są czy nie ?

*Ukośne
\(\displaystyle{ a=\lim_{x\to+-\infty}\frac{(x+7)^{2} \cdot e^{4x}}{x}=?}\) - nie wiem

\(\displaystyle{ b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]=?}\) - nie wiem

5) Określić przedziały monotoniczności funkcji;
6) Znaleźć ekstrema funkcji;
7) Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji;
8) Znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji;

\(\displaystyle{ f(x)=(x+7)^{2} \cdot e^{4x}}\)

\(\displaystyle{ Df=R}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= e^{4x}(4x^{2}+58x+42)}\)

\(\displaystyle{ f'(x_{0})=0 \iff 4x_{0}^{2}+58x_{0}+42=0 \to x_{1}=-0,76 \vee x_{2}=-13,73}\)

f jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty , -13,73) , (-0,76 , + \infty )}\)
f jest malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (-13,73 , -0,76)}\)

\(\displaystyle{ f_{min}=f(-0,76)=38,94 \cdot e^{-3,04}}\)

\(\displaystyle{ f_{max}=f(-13,73)=45,29 \cdot e^{-54,92}}\)

\(\displaystyle{ f''(x)=e^{4x} \cdot (4x^{2}+66x+100)}\)

\(\displaystyle{ f''(x_{0})=0 \iff 4x^{2}+66x+100=0 \to x_{1}=-1,69 \vee x_{2}=-14,81}\)

f jest wypukła dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty , -14,81) , (-1,69 , + \infty )}\)
f jest wklęsła dla \(\displaystyle{ x \in (-14,81 , -1,69)}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=-1,69 \vee x_{2}=-14,81}\) to punkty przegięcia

\(\displaystyle{ f(-14,81)=60,99 \cdot e^{-59,24}}\)

\(\displaystyle{ f(-1,69)=28,2 \cdot e^{-6,76}}\)

[sarluk]

3) Wyznaczyć granice funkcji na końcach określoności dziedziny:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} (x+7)^{2} \cdot e^{4x}=[- \infty \cdot 0]=\lim_{x\to-\infty} \frac{(x+7)^{2}}{e^{-4x}}=[\frac{ \infty }{ \infty }]\stackrel{[H]}{=}\frac{2x+14}{e^{-4x}}=[\frac{ \infty }{ \infty }]\stackrel{[H]}{=}\frac{2}{e^{-4x}}=0}\)

Dla mnie wygląda to trochę dziwnie, ale jeszcze to sprawdzę.