prawdopodobieństwo wylosowania pary rękawiczek

[BabaJaga]

Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery
rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz
prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary,
B – wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para.

[jarek4700]

Też się ostatnio pomęczyłem trochę nad tym zadaniem. Nadal nie bardzo wiem jak opisać zbiór zdarzeń.
Z tymi skarpetkami to będzie tak: zakładamy że rękawiczkii różnią się między sobą - każda ma jakiś numer.
Wówczas wybierając cztery z 20 możemy za pierwszym razem wybrać na 20 sposobów, potem na 19, później na 18, na końcu na 17.
(omega) = \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}\)
Teraz chcemy żeby wśród wylosowanych rękawiczek nie było pary. Pierwszą znów można wybrać na 20 sposobów, drugą natomiast już tylko na 18 (bo jedna z pozostałych 19 tworzyłaby parę z pierwszą). Podobnie możemy stwierdzić że trzecią można wybrać na 16 sposobów a ostatnią na 14.
A - wśród wylosowanych rękawiczek nie ma pary.
P(A) = \(\displaystyle{ \frac{20 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 14}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{224}{323}}\)

Podpunkt b jest już bardziej skomplikowany. Skoro spośród czterech rękawiczek ma być jedna para to parę tę mogą tworzyć : pierwsza wylosowana z drugą wylosowaną, pierwsza wylosowana z trzecią wylosowaną itd. Ogólnie jest 6 sposobów wybrania dwóch miejsc spośród czterech na których ma znajdować się para.
Jeśli mamy już wybrane miejsce to pierwszą rękawiczkę z pary wybieramy na 20 sposobów drugą zaś na 1 sposób (jest tylko jedna która tworzy parę z poprzednią). Trzecia z kolei rękawiczka może być dowolną z pozostałych (18 sposobów), ostatnia nie może tworzyć pary z trzecią (16 sposobów).
B - wśród wylosowanych rękawiczek znajduje się jedna para
P(B) = \(\displaystyle{ \frac{6 \cdot 20 \cdot 1 \cdot 18 \cdot 16}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{96}{323}}\)

Z dociekliwości rozważyłem jeszcze jedno zdarzenie;
C - będą dwie pary
Wiadomo wówczas że pierwsza wylosowana rękawiczka musi tworzyć parę z którąś z pozostałych. Zatem miejsce dla jednej z par można wybrać na trzy sposoby. Wówczas miejsce dla drugiej pary "wybierze się samo". Ogólnie są więc trzy sposoby wybrania miejsc na których są pary. Mając już wybrane miejsca dla par pierwszą rękawiczkę w pierwszej parze wybieramy na 20 sposobów, drugą z tej pary na 1 sposób. Pierwszą rękawiczkę w drugiej parze na 18 sposobów , ostatnią na 1 sposób.
P(C) = \(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 20 \cdot 1 \cdot 18 \cdot 1}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{3}{323}}\)

Możemy zauważyć że P(A) + P(B) + P(C) = 1. Jest to oczywiste ponieważ zdarzenia A,B, i C wykluczają się wzajemnie a ponadto obejmują razem wszystkie możliwe wyniki losowania.

Niech ktoś tylko jeszcze powie co to znaczy opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych...
-----
A może to wystarczy napisać że ów zbiór to czteroelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 20-elementowego?

[BabaJaga]

a dlaczego nie na kombinacje ?

[jarek4700]

A jak chcesz to niby zrobić na kombinacje? W omedze policzysz na ile sposobów można wybrać cztery pojedyncze rękawiczki z 20. A potem trzeba się będzie zajmować dwójkami (w zasadzie tylko w zdarzeniu C możnaby zobaczyć na ile sposobów można wybrać dwie dwójki spośród 10 dwójek). Zauważ że w omedze rozważaliśmy rękawiczki z osobna a potem nagle zaczęliśmy zajmować się parami. Coś czuję przez skórę że nic z tego nie będzie....Zdarzenia A i B to kompletnie mi się nie kojarzą z kombinacjami.

-- 4 maja 2010, o 16:59 --
Właściwie jak zaczniesz cokolwiek robić na kombinacje to potem już tylko i wyłącznie kombinacje. Cały pic polega na tym że kombinacje nie uwzględniają kolejności a te wszystkie wariacje i permutacje uwzględniają. Dlatego też nie trzeba mieszać kombinacji z wariacjami i permutacjami bo wyjdzie masło maślane.
Zadania tego typu jakoś lepiej się rozwiązuje zwracając uwagę na kolejność czyli pierwszą rękawiczkę na x sposobów itd. W tym momencie właśnie zwróciliśmy uwagę na kolejność więc kombinacje odpadają.

[BabaJaga]

Ogólnie jest 6 sposobów wybrania dwóch miejsc spośród czterech na których ma znajdować się para.

Dlaczego 6 a nie 12? Dlaczego tutaj kolejność nie jest już istotna?