\(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a))}\), gdzie \(\displaystyle{ T_{d}(a)=\{ x \in R^{d}: \sum_{k=1}^{d} x_{k} \le a, \bigwedge_{k=1,....,d} x_{k} \ge 0\},a>0}\)
Wskazówka: użyj indukcji "po d"
Rozkładam ręce
Całka w sensie Lebesega z indukcją
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka w sensie Lebesega z indukcją
Klamry
\(\displaystyle{ \{ \}}\)
w texu robi się tak:
Teraz odnośnie zadania.
Geometrycznie nasz zbiór to \(\displaystyle{ d}\)-wymiarowy sympleks ograniczony płaszczyznami \(\displaystyle{ x_{i} = 0,\ i=1,\ldots, d}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{d}x_{i} = a.}\)
Z własności miary Lebesgue'a mamy \(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = a^{d}\lambda(T_{d}(1)),}\) bo \(\displaystyle{ T_{d}(a) = a\cdot T_{d}(1).}\)
Dla \(\displaystyle{ d =1}\) zbiór \(\displaystyle{ T_{d}(1)}\) jest odcinkiem \(\displaystyle{ [0,1],}\) czyli ma miarę \(\displaystyle{ 1.}\)
Teraz znajdziemy wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ V_{d}:=\lambda^{d}(T_{d}(1))}\) i powyższy warunek początkowy pozwoli nam znaleźć postać jawną tego wzoru.
Znając \(\displaystyle{ V_{d}}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ V_{d+1}}\) z twierdzenia Fubiniego/Tonellego/Cavalieriego, które pozwala nam zamieniać całki wielokrotne na iterowane.
W tym celu zauważmy, że cięcie/sekcja naszego zbioru przez płaszczyznę \(\displaystyle{ x_{d+1}= c,}\) dla \(\displaystyle{ 0\le c< 1}\) powstaje z cięcia dla \(\displaystyle{ c = 0}\) (które jest równe \(\displaystyle{ T_{d}(1)}\)) poprzez przemnożenie współrzędnych przez \(\displaystyle{ (1-c)}\) i przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ (0,\ldots,0,c)}\), a dla pozostałych \(\displaystyle{ c}\) cięcie to jest puste lub jednopunktowe - czyli ma miarę zero.
Z własności miary Lebesgue'a oznacza to, że miara naszego cięcia dla \(\displaystyle{ 0\le c < 1}\) wynosi \(\displaystyle{ (1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))}\)
Zatem ze wspomnianego twierdzenia mamy:
\(\displaystyle{ V_{d+1} = \int_{T_{d+1}(1)}d\lambda^{d+1} =\int_{0}^{1}\int_{T_{d}(1)}(1-c)^{d}\lambda^{d}\lambda^{1}(c)= \int_{0}^{1}(1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))d\lambda^{1}(c) =\\ = \lambda^{d}(T_{d}(1))\int_{0}^{1}(1-c)^{d}d\lambda^{1}(c)= \frac{1}{d+1}\lambda^{d}(T_{d}(1)) = \frac{1}{d+1}V_{d}}\)
Teraz korzystając z indukcji i równości \(\displaystyle{ V_{1} = 1}\) otrzymujemy łatwo:
\(\displaystyle{ V_{d} = \frac{1}{d!}}\)
zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = \frac{a^{d}}{d!}}\)
\(\displaystyle{ \{ \}}\)
w texu robi się tak:
Kod: Zaznacz cały
\{ \}Geometrycznie nasz zbiór to \(\displaystyle{ d}\)-wymiarowy sympleks ograniczony płaszczyznami \(\displaystyle{ x_{i} = 0,\ i=1,\ldots, d}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{d}x_{i} = a.}\)
Z własności miary Lebesgue'a mamy \(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = a^{d}\lambda(T_{d}(1)),}\) bo \(\displaystyle{ T_{d}(a) = a\cdot T_{d}(1).}\)
Dla \(\displaystyle{ d =1}\) zbiór \(\displaystyle{ T_{d}(1)}\) jest odcinkiem \(\displaystyle{ [0,1],}\) czyli ma miarę \(\displaystyle{ 1.}\)
Teraz znajdziemy wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ V_{d}:=\lambda^{d}(T_{d}(1))}\) i powyższy warunek początkowy pozwoli nam znaleźć postać jawną tego wzoru.
Znając \(\displaystyle{ V_{d}}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ V_{d+1}}\) z twierdzenia Fubiniego/Tonellego/Cavalieriego, które pozwala nam zamieniać całki wielokrotne na iterowane.
W tym celu zauważmy, że cięcie/sekcja naszego zbioru przez płaszczyznę \(\displaystyle{ x_{d+1}= c,}\) dla \(\displaystyle{ 0\le c< 1}\) powstaje z cięcia dla \(\displaystyle{ c = 0}\) (które jest równe \(\displaystyle{ T_{d}(1)}\)) poprzez przemnożenie współrzędnych przez \(\displaystyle{ (1-c)}\) i przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ (0,\ldots,0,c)}\), a dla pozostałych \(\displaystyle{ c}\) cięcie to jest puste lub jednopunktowe - czyli ma miarę zero.
Z własności miary Lebesgue'a oznacza to, że miara naszego cięcia dla \(\displaystyle{ 0\le c < 1}\) wynosi \(\displaystyle{ (1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))}\)
Zatem ze wspomnianego twierdzenia mamy:
\(\displaystyle{ V_{d+1} = \int_{T_{d+1}(1)}d\lambda^{d+1} =\int_{0}^{1}\int_{T_{d}(1)}(1-c)^{d}\lambda^{d}\lambda^{1}(c)= \int_{0}^{1}(1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))d\lambda^{1}(c) =\\ = \lambda^{d}(T_{d}(1))\int_{0}^{1}(1-c)^{d}d\lambda^{1}(c)= \frac{1}{d+1}\lambda^{d}(T_{d}(1)) = \frac{1}{d+1}V_{d}}\)
Teraz korzystając z indukcji i równości \(\displaystyle{ V_{1} = 1}\) otrzymujemy łatwo:
\(\displaystyle{ V_{d} = \frac{1}{d!}}\)
zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = \frac{a^{d}}{d!}}\)