1) Spośród wszystkich czworokątów wpisanych w dany okrąg, których jeden bok jest średnicą tego okręgu, a dwa kolejne boki są równej długości, wyznacz ten o największym polu.
2) Spośród wszystkich prostokątów wpisanych w dane półkole w ten sposób, że jeden z jego boków zawarty jest w średnicy tego półkola, a przeciwległy bok jest jego cięciwą, wyznacz ten o największym polu.
3) Prostopadłościenny basen ma pojemność \(\displaystyle{ 36m^{3}}\). Jego dno jest prostokątem, którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Jakie wymiary powinien mieć ten basen, aby suma pól powierzchni jego ścian i dna była najmniejsza?
Bardzo proszę o pomoc, myślę nad tymi zadaniami już trzeci dzień i jakoś nie mogę znaleźć odpowiednich zależności.
Zadania optymalizacyjne
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Zadania optymalizacyjne
Mi się wydaje proste.
1. Nazwijmy sobie promień okręgu r. Ten czworokąt jest jednoznacznie wyznaczony przez długość tych równych kolejnych boków. A ona jest wyznaczona przez kąt środkowy oparty na takim boku, oznaczmy go x. Rysujemy promienie do wierzchołków czworokąta, dzieli nam się on na trzy trójkąty równoramienne o dwóch bokach r i kątach między nimi odpowiednio \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ \pi -2x}\). Pole trójkąta z wzoru z sinusem, zsumować, znaleźć maksimum względem x.
2. Znowu niech promień będzie r. Oznaczmy długość boku zawartego w średnicy przez x, długość drugiego przez y. Narysujmy promienie do wierzchołków prostokąta. Z Pitagorasa \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2} \right)^2+y^2=r^2}\). Stąd wyliczamy\(\displaystyle{ y(x)}\), szukamy maksimum \(\displaystyle{ xy}\).
3. Oznaczmy krótszy bok (tzn. jego długość w metrach) dna przez x. Wtedy pozostałe boki to \(\displaystyle{ 2x}\), \(\displaystyle{ \frac{36}{2x^2}}\). Liczymy pola powierzchni ścian, dodajemy, szukamy maksimum...
Pomogło? Czy problem jest gdzieś dalej, a jeśli tak, to gdzie?
1. Nazwijmy sobie promień okręgu r. Ten czworokąt jest jednoznacznie wyznaczony przez długość tych równych kolejnych boków. A ona jest wyznaczona przez kąt środkowy oparty na takim boku, oznaczmy go x. Rysujemy promienie do wierzchołków czworokąta, dzieli nam się on na trzy trójkąty równoramienne o dwóch bokach r i kątach między nimi odpowiednio \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ \pi -2x}\). Pole trójkąta z wzoru z sinusem, zsumować, znaleźć maksimum względem x.
2. Znowu niech promień będzie r. Oznaczmy długość boku zawartego w średnicy przez x, długość drugiego przez y. Narysujmy promienie do wierzchołków prostokąta. Z Pitagorasa \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2} \right)^2+y^2=r^2}\). Stąd wyliczamy\(\displaystyle{ y(x)}\), szukamy maksimum \(\displaystyle{ xy}\).
3. Oznaczmy krótszy bok (tzn. jego długość w metrach) dna przez x. Wtedy pozostałe boki to \(\displaystyle{ 2x}\), \(\displaystyle{ \frac{36}{2x^2}}\). Liczymy pola powierzchni ścian, dodajemy, szukamy maksimum...
Pomogło? Czy problem jest gdzieś dalej, a jeśli tak, to gdzie?