Objętośc kuli opisanej na ostrosłupie trójkątnym

[pablossoyos]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym alfa. Każda krawędź boczna tworzy z podstawą kąt Beta. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości opisanej na nim kuli.

Godzina prób i złe wyniki wychodzą ,toteż zwracam się z prośbą o pomoc .Pozdrawiam !

[Justka]

a jaka jest odp? bo ja mam coś takiego \(\displaystyle{ \frac{V}{V_k}=\frac{2sin2\alpha tg\beta}{\pi (tg\beta+\frac{1}{tg\beta})^3}}\)

[pablossoyos]

\(\displaystyle{ \frac{4sin \alpha cos \alpha sin^{4} \beta cos^{2} \beta }{ \pi }}\)

[Justka]

czyli to samo, w najbliższym czasie napiszę jak do tego dojść ;]

[edit]
rys. pomocniczy

Oczywiście \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=\alpha, \ \sphericalangle BAS=\beta}\) oraz niech |AB|=a.

Korzystając z kata alfa łatwo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |AC|=a \sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ |BC|=a \cos\alpha}\), czyli pole podstawy jest równe \(\displaystyle{ P_p=\frac{1}{2}a^2 \sin\alpha \ cos\alpha}\).

Wiemy, że wszystkie krawędzie nachylone są do podstawy pod takim samym kątem, zatem spodek wysokości S' jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, czyli w tym przypadku jest to środek przeciwprostokątnej, zatem \(\displaystyle{ |AS'|=|S'B|=|S'C|=\frac{1}{2}a}\).

Wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H=\frac{1}{2}a \tg\beta}\), a objetość \(\displaystyle{ V=\frac{1}{12} a^3 \sin\alpha \cos\alpha tg\beta}\).

Aby obliczyć promień kuli, układamy tw. Pitagorasa dla trójkąta COS', tj. \(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2}a \tg\beta - R)^2=R^2}\), stąd \(\displaystyle{ R=\frac{1}{4}a(\tg\beta+\frac{1}{\tg\beta})}\).

czyli \(\displaystyle{ V_k=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{4^3} a^3(\tg\beta+\frac{1}{\tg\beta})^3}\).

a stosunek \(\displaystyle{ \frac{V}{V_k}= \frac{2\sin2\alpha \tg\beta }{\pi (\tg\beta+\frac{1}{\tg\beta})^3}}\), po krótkich przekształceniach dojdziesz to wyniku z odpowiedzi ;]

[pablossoyos]

Dziękuję bardzo.