2 równania rozniczkowe

[Tygryska_Anna]

1.\(\displaystyle{ xy"+xy'=1}\)
2.\(\displaystyle{ xy"+xy'=0}\)

[Grzegorz Getka]

\(\displaystyle{ \Large xy^{''}+xy^{'}=1}\)

\(\displaystyle{ \Large y^{''}+y^{'}=\frac{1}{x}}\)

Zapisuje równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ \Large y^{''}+y^{'}=0}\)

Zapisuje równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ \Large r^{2}+r=0}\)

Z tego wyznaczam:

\(\displaystyle{ \Large r_{1}=0 \quad \quad r_{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ \Large y_{1}=1 \quad \quad y_{2}=e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large y=C_{1}+C_{2}e^{-x}}\)

Dalej trzeba utworzyć wyznacznik Wrońskiego, jeśli nie będziesz umiała, to pisz.

[Tygryska_Anna]

Dziekuje serdecznie....dla mnie rozniczki tym razem to magia ...wole 100% całki:)))) Pozdrawiam

[Grzegorz Getka]

\(\displaystyle{ \Large xy^{''}+xy^{'}=0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ \Large p=y^{'}}\)

\(\displaystyle{ \Large xp^{'}+xp=0}\)

\(\displaystyle{ \Large xp'=-xp}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac{dp}{dx}=-p}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac{dp}{p}=-dx}\)

\(\displaystyle{ \Large ln|p|=-x+C}\)

\(\displaystyle{ \Large p=e^{-x+C}}\)

\(\displaystyle{ \Large p=Ce^{-x}}\)

Wracam do podstawienia:

\(\displaystyle{ \Large \frac{dy}{dx}=Ce^{-x}}\)

Piszesz, że jesteś dobra z całek, to masz prościutką całeczkę:

\(\displaystyle{ \Large y=\int Ce^{-x} dx}\)

Jak rozwiążesz, to dostaniesz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (RORJ). Do wyznaczenia rozwiązania szczególnego potrzebne są warunki początkowe, ale nie ma ich podanych, więc zostawiamy w tej postaci.

[Tygryska_Anna]

)) jestes wielki ))) serdecznie dziekuje

[Grzegorz Getka]

Dokończenie 3 przykładu:

\(\displaystyle{ \Large ft{\begin{array}{l}C_{1}^{'}(x)+C_{2}^{'}(x)e^{-x}=0\\C_{1}^{'}(x)-C_{2}^{'}(x)e^{-x}=\frac{1}{x}\end{array}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ \Large W=-2e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large W_{1}=-\frac{1}{x} e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large W_{2}=\frac{1}{x}}\)

Powinnaś znać takie wzory:

\(\displaystyle{ \Large C_{1}^{'}(x)=\frac{W_{1}}{W}=\frac{1}{2x}}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{2}^{'}(x)=\frac{W_{2}}{W}=\frac{1}{2xe^{-x}}}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{1}(x)=\frac{1}{2} t \frac{1}{x} dx \frac{1}{2}ln|x|+A}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{2}(x)=\frac{1}{2} t \frac{1}{xe^{-x}}dx}\)

EDIT:

Gdzieś się musiałem pomylić, bo ostatnia całka nie jest do policzenia w sposób elementarny.

[Tygryska_Anna]

jestem pełna podziwu. Dziekuje

[Cani]

Hmmm, widzę, ze się powtórzyłem z tematem równań parę godzin po fakcie. Wydaje mi się, że W powinno wyjść -e^x ( mi tak przynajmniej wyszło). Natomiast co do C2, też nie mogę policzyć. wychodzi mi :

∫ [(1/x)/(-e^-x)]dx jak to zrobić?

[Grzegorz Getka]

Wydaje mi się, że W powinno wyjść -e^x ( mi tak przynajmniej wyszło).

To Ci źle wyszło. Wychodzi tak jak napisałem.

∫ [(1/x)/(-e^-x)]dx jak to zrobić?

Już napisałem wyżej, że funkcjami elementarnymi tego nie zrobisz. Można szeregiem potęgowym,ale to już inna bajka.

Pozdrawiam

[Pikaczu]

To Ci źle wyszło. Wychodzi tak jak napisałem.

Taki pewny jesteś? Jeśli piszesz, że komuś wyszło źle, to zastanów się dwa razy.
Źle zapisałeś sobie układ równań, bo

\(\displaystyle{ y_1'(x)=0}\)