Norma operatora

[Jaro_MUT]

Udowodnić liniowość oraz znaleźć normę operatora \(\displaystyle{ (Az)(t)=tz(t), t \in <0,1>}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ (A(z_1+z_2))(t)=t(z_1+z_2)(t)=t(z_1(t)+z_2(t))=tz_1(t)+tz_2(t)=(Az_1)(t)+(Az_2)(t)}\)
\(\displaystyle{ (A(\lambda z))(t)=t(\labdba z(t))=...}\)
A jaka to przestrzeń i jaka norma?
\(\displaystyle{ Dla\; C([0,1]),||x||=\sup_{t\in[0,1]}|x(t)|}\):
\(\displaystyle{ ||(Ax)(t)||=\sup_{t}|tx(t)| \le \sup_{t}|t||x(t)| \le ... 1\cdot ||x(t)||}\)
Niech \(\displaystyle{ x(t)=1}\):
\(\displaystyle{ ||(Ax)(t)||=\sup_{t}|t\cdot 1|=1=||x(t)||}\)
\(\displaystyle{ ||A||=1}\)
Ręki nie dam za to uciąć.

[yorgin]

Dla normy zbieżności jednostajnej wygląda wszystko ok.(poza kilkoma literówkami, przy jednorodności operatora np).

No ale jeśli np mamy normę w jakimś \(\displaystyle{ L^p}\) to sprawa się sypie. Może autor udzieli brakującej informacji?

[Jaro_MUT]

Cała treść zadania:
Udowodnić, że operator \(\displaystyle{ A:C(<0,1>) \rightarrow C(<0,1>)}\), określony wzorem \(\displaystyle{ (Az)(t)=tz(t), t \in <0,1>}\), na przestrzeni \(\displaystyle{ C(<0,1>)}\) z normą \(\displaystyle{ ||f|| _{C}=max{|f(x)|:x \in <0,1>}}\), jest liniowy i wyznacz jego normę.

[yorgin]

Super, bo pyzol już Ci przestawił poprawne rozwiązanie.

[Jaro_MUT]

Ok. Wielkie dzięki.
Mam jeszcze parę zadań z działu "równania całkowe Fredholma", ale najpierw sam spróbuje z nimi powalczyć.
Pozdrawiam,
Jaro_MUT