Trójkąt i prosta

Novy · Post autor: **Novy** » 27 kwie 2010, o 22:32

W trójkącie ABC mamy dane:

\(\displaystyle{ |AC| = \sqrt{3} , | \sphericalangle ACB| = 90*}\).

Przez wierzchołek C poprowadzono prostą , która utworzyła z bokiem AC kąt 60*, i przecięła bok AB w punkcie D, tak że:

\(\displaystyle{ |AD|:|DB| = 1:3}\)

Wykonaj rysunek i oblicz długość boków AB, BC, CD.

Rysunek wykonałem jak poniżej. Co robić dalej, nie wiem:

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 27 kwie 2010, o 22:43

Z jakiego poziomu to zadanie? Od tego zależy dobór narzędzi...

Jeśli znasz twierdzenie Cosinusów to pójdzie szybko:
oznacz \(\displaystyle{ |BC|=y}\) oraz \(\displaystyle{ |CD|=z}\).

Zapisz Tw. Pitagorasa dla trójkata ABC.
Zapisz Tw. Cosinusów dla trójkątów ADC i DBC.

Mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

glaeddyv · Post autor: **glaeddyv** » 27 kwie 2010, o 22:52

układ z trzema niewiadomymi:

\(\displaystyle{ y^{2} + 3 = 16 x^{2}}\) (gdzie y to jedna z przyprostokątnych a 4x to przeciwprostokątna

\(\displaystyle{ z^{2} + y^{2} - 2 \cdot z \cdot y \cdot cos30 = 9x^{2}}\) (gdzie z to odcinek |CD|)

\(\displaystyle{ z^{2} + 3 - 2 \cdot z \cdot \sqrt{3} \cdot cos60 = x^{2}}\)

jimarcin · Post autor: **jimarcin** » 27 kwie 2010, o 23:12

i wyszedł komuś jakiś znośny wynik? da się obejść jakimś trickiem te żmudne obliczenia?

zaciąłem się na:
\(\displaystyle{ 16z ^{2} -16 \sqrt{3}z-y ^{2} +45=0}\)
\(\displaystyle{ 16z ^{2}+7y ^{2}-32 \sqrt{3}zy-27=0}\)
a podstawiłem \(\displaystyle{ x ^{2}= \frac{y ^{2} +3}{16}}\)

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 27 kwie 2010, o 23:20

jimarcin pisze:i wyszedł komuś jakiś znośny wynik? da się obejść jakimś trickiem te żmudne obliczenia?

Prosze Cie...
Wszystko ładnie wychodzi Kilka przekształceń i jest wynik.
W dwóch ostatnich równaniach występuje \(\displaystyle{ z^2-z \sqrt{3}}\) -> wyznaczyć i przyrównać -> zostaje prosty układ dwóch równań z niewiadomymi x,y. Potem tego z nawet nie musisz liczyć, bo nie o to pytali w zadaniu.

jimarcin · Post autor: **jimarcin** » 27 kwie 2010, o 23:34

pelas_91 pisze: W dwóch ostatnich równaniach występuje \(\displaystyle{ z^2-z \sqrt{3}}\) -> wyznaczyć i przyrównać -> zostaje prosty układ dwóch równań z niewiadomymi x,y. Potem tego z nawet nie musisz liczyć, bo nie o to pytali w zadaniu.

\(\displaystyle{ z^{2}-z \sqrt{3}=x^{2}-3}\)
\(\displaystyle{ z^{2}-2 \sqrt{3}zy=9x^{2}-y^{2}}\)

jak to wyciągnąłeś do porównania?

anna_ · Post autor: **anna_** » 27 kwie 2010, o 23:49

Ktoś zwrócił uwagę na to, że kąt \(\displaystyle{ 60^o}\) jest mniejszy od kąta \(\displaystyle{ 30^o}\)?

post709452.htm

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 28 kwie 2010, o 00:22

nmn pisze:Ktoś zwrócił uwagę na to, że kąt \(\displaystyle{ 60^o}\) jest mniejszy od kąta \(\displaystyle{ 30^o}\)?

A jakie to ma znaczenie? To tylko rysunek pomocniczy. Rozwiązanie opieramy na twierdzeniach.

@jimarcjin, trochę już późno i wygląda na to że się rozpędziłem w obliczeniach.

anna_ · Post autor: **anna_** » 28 kwie 2010, o 00:25

Niemniej trochę dziwnie to wygląda.

PS
Wystarczyło wpisać treść w wyszukiwarkę.
Ktoś już je wcześniej rozwiązał.