zbieżność jednostajna - ciągi funkcyjne

[Kocurka]

Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{n}arctgx^n}\) jest zbieżny jednostajnie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

[pipol]

Połóżmy \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Wtedy \(\displaystyle{ 0 \le \alpha_n=\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n (x) -f(x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n (x)| \le \frac{\pi }{2n} \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) .