Ruch harmoniczny

[Uzo]

Koniec sprężyny odciągnięto siłą o wartości 10 N o 10cm. Masa klocka wynosi 1kg . Po usunięciu siły klocek zacznie drgać ruchem harmonicznym.
a)Oblicz okres drgań klocka .
b)Napisz równanie wychylenia w zależności od czasu .

No i z tym również mam problem , dlatego prosiłbym o dokładne wytłumaczenie

[PawelJan]

Okres drgań oscylatora harmonicznego o masie m na idealnej sprężynie o współczynniku sprężystości k wyraża się wzorem \(\displaystyle{ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\) - dlaczego? Wynika to ze wzoru \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{\omega}}\).

Musimy więc znaleźć k. Siła sprężystości to F=kx, zatem k łatwe do znalezienia.

Równanie wychylenia od czasu: x(t)=Acos(ωt). Omegę policzysz, A masz dane wprost.

[mat1989]

Okres drgań oscylatora harmonicznego o masie m na idealnej sprężynie o współczynniku sprężystości k wyraża się wzorem \(\displaystyle{ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\) - dlaczego? Wynika to ze wzoru \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{\omega}}\).

dokładniej rozpisując:
\(\displaystyle{ \vec{F}=-k\vec{x}\\ F=kx \\ m\omega^2x=kx\\ \omega^2=\frac{k}{m}\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\)

[PawelJan]

Skoro piszesz dokładnie, to nie stawiaj minusa przy wartości siły, bo ujemnych sił jeszcze nie ma...

[Amon-Ra]

Podedytowałem mu post.

[zorroxxx]

A ja się nie zgadzam.
Uważam , że równanie: \(\displaystyle{ F=kx}\) nie jest poprawne.
Poprawnie jest: \(\displaystyle{ F=-kx}\) .
Brak minusa świadczy, że zwrot wektora siły jest zgodny ze zwrotem wektora położenia.
Pozdrawiam.

[Amon-Ra]

Pisząc bez strzałek na literkami sugeruje się, że rozpatrujemy wartość siły, a nie jej zwrot. Znak minusa - jak sam piszesz - oznacza, że wektory położenia i siły są skierowane przeciwnie, a przecież ma to sens tylko przy zapisie wektorowym, czyli ze strzałkami.

Podobnie siłę ciążenia zapisać można dwojako - z uwzględnieniem wartości \(\displaystyle{ F=\frac{GMm}{R^2}}\) i wektorowo \(\displaystyle{ \vec{F}=-\frac{GMm}{R^2}\cdot \frac{\vec{R}}{R}}\). Jeżeli po lewej stronie równania jest wektor, to i po prawej musi być - inny wektor lub iloczyn skalara i wersora, jak tym przypadku.

[zorroxxx]

Weźmy rzut pionowy z powierzchni ziemi :
\(\displaystyle{ \vec{y}=\vec{Vo}t+\vec{a}t^{2}/2}\)
W zapisie skalarnym uwzględniając zwrot:
\(\displaystyle{ y=Vot-{a}t^{2}/2}\)

I prawo dynamiki dla ciała o ciężarze Q leżącego na stole:
\(\displaystyle{ \vec{Q}+\vec{S}=0}\)
Skalarnie (uwzględniajac zwrot):
\(\displaystyle{ Q-S=0}\)

Zapis wektorowy nie uwzględnia zwrotu bo ten jest zawarty w samym wektorze.
Jak chcemy zapisać skalarnie to inna sprawa.
Pozdrawiam.

[liu]

Amon-Ra -> piszac bez strzalek nad literami w jednowymiarowym przypadku zwykle mamy na mysli wspolrzedna wektora w pewnym ukladzie wspolrzednych. A skladowa juz owszem moze byc ujemna.

Rozpatrzmy chlopca ciagnacego sanki o masie m sila o wartosci F skierowana poziomo, wspolczynnik tarcia kinetycznego wynosi \(\displaystyle{ \mu}\), obliczyc przyspieszenie ukladu.

Rownanie drugiej zasady dynamiki w postaci wektorowej wyglada nastepujaco:

\(\displaystyle{ m\mathbf{a} = \mathbf{F} + \mathbf{T} + \mathbf{Q} + \mathbf{N_R}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{T}}\) - siła tarcia, \(\displaystyle{ \mathbf{Q}}\) - ciężar, \(\displaystyle{ \mathbf{N_R}}\) - siła reakcji podłoża na nacisk sanek. Oczywiście \(\displaystyle{ \mathbf{Q} = \mathbf{N}}\) (jeszcze jedno oznaczenie N - nacisk), a z trzeciej zasady dynamiki \(\displaystyle{ \mathbf{N} = - \mathbf{N_R}}\).
Ustalmy teraz pewien uklad wspolrzednych, niech os x bedzie pozioma, rosnace iksy w strone zwrotu sily F, os y pozioma, rosnace igreki "w gore". Srodek ukladu wspolrzednych w srodku masy sanek. Rozpisana na skladowe druga zasada dynamiki wygląda tak:

\(\displaystyle{ ma_x = F_x + T_x + Q_x + N_{R_x}}\)
\(\displaystyle{ ma_y = F_y + T_y + Q_y + N_{R_y}}\)
Sanki nie poruszaja sie w gore ani w dol wiec \(\displaystyle{ a_y=0}\). Teraz rozpisujemy siły:
\(\displaystyle{ F_x = F}\), \(\displaystyle{ F_y = 0}\), \(\displaystyle{ Q_x = 0}\), \(\displaystyle{ Q_y = -mg}\), \(\displaystyle{ T_y = 0}\), \(\displaystyle{ T_x = -\mu mg}\), \(\displaystyle{ N_{R_x} = 0}\), \(\displaystyle{ N_{R_y} = mg}\). I jesli sprawe rozpatrujemy tak to jak widac minusy i plusy znajduja swoje zastosowanie i sa uzasadnione:)

[Amon-Ra]

No i cóż z tego wynika? Właśnie to, co napisałem. Wartości sił i tak i tak pozostaną nieujemne. To skierowanie wektora świadczy o jego "ujemności", która jest jedynie ujemnością umowną, gdyż przy inaczej zorientowanym układzie współrzędnych to właśnie wektor dodatni może stać się ujemnym i odwrotnie... Po cóż te wszystkie przykłady? One niczego nie udowadniają, a przynajmniej nic, czego nie napisałbym, względnie nie wiedziałbym . Chyba, że zastrzeżenia macie do słówka "skalarnie", którego poprzednio użyłem - w takim razie mogę post oczywiście zmienić.

piszac bez strzalek nad literami w jednowymiarowym przypadku zwykle mamy na mysli wspolrzedna wektora w pewnym ukladzie wspolrzednych. A skladowa juz owszem moze byc ujemna.

Jeżeli piszesz o składowej, piszesz o wektorze. Wartości (długości) wektorów pozostaną nieujmne, to chyba dość oczywiste . To, czy podczas dodawania wektorowego dodajemy, czy odejmujemy ich wartości uzależnione jest przecież od wzajemnego zorientowania tychże - i znowu do pojęcia wektora odwołać się musimy, aby wiedzieć, czy poszczególne składowe paralelne są znaków przeciwnych, czy nie - i to tylko dlatego, iż pewien określony kierunek możemy uznać za dodatni, przeciwny doń za ujemny. Naprawdę nie widzę tutaj powodu, dla którego mielibyśmy kopie kruszyć, bo i nie ma o co, i powodu żadnego nie widzę.

[liu]

To nie zmienia faktu, ze dodajac wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), skladowe DODAJE SIE, a nie odejmuje, dlatego trzeba je w pewien sposob skierowac i gdzies musi byc plus a gdzies minus;)
Dodaje sie wspolrzedne w pewnym okreslonym ukladzie, a nie dlugosci rzutow wektora na osie.
Bede kruszyl kopie (chociaz to nie jest dobry termin), bo widze, ze przez bajzel dydaktyczny robi sie zupelne zamieszanie wsrod uczniow przecietnych - ludzie maja problem, czy napisac Q-S, czy S-Q, gubia sie ogolnie we wszelkich konwencjach znakowania (ot, chociazby znak pracy czy tez znaki w termodynamice).
W rownaniu soczewki/zwierciadla dla zachowania jego jednolitej formy 1/x+1/y = 1/f tez jest zastosowanych kilka umow, i jakos sie nikt nie czepia o to, ze odleglosc np. y = -4 cm

Zreszta, rownanie oscylatora harmonicznego to:

\(\displaystyle{ m\ddot{x} + kx=0}\)
a nie
\(\displaystyle{ m\ddot{x} - kx = 0}\)
To drugie daje nam x(t) jako funkcję wykładniczą!

[Amon-Ra]

To nie zmienia faktu, ze dodajac wektory w , skladowe DODAJE SIE, a nie odejmuje, dlatego trzeba je w pewien sposob skierowac i gdzies musi byc plus a gdzies minus;)

To nie zmienia faktu, że nigdzie nie napisałem, że jest inaczej!

Dodaje sie wspolrzedne w pewnym okreslonym ukladzie, a nie dlugosci rzutow wektora na osie.

...
No i poraz kolejny - niczego takiego nie napisałem. Zauważ jedynie, że każdy wektor można zapisać równaniem:

\(\displaystyle{ \large \vec{a}=\hat{i}\cdot a_x +\hat{j}\cdot a_y +\hat{k}\cdot a_z}\)

Podobnie długość (wartość, jak kto woli) całego wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest nieujemna, gdyż jest to pierwiastek z sumy kwadratów długości składowych. Gdzie masz tu ujemność wartości? Dlatego właśnie i ja, i mam nadzieję PawelJan także, kwestionujemy poprawność zapisu \(\displaystyle{ F=-kx}\). Rozpatrując tę siłę w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^3}\), jedynie zapisać możesz, iż to nie siła jest ujemna, ale składowy wektor pionowy taki jest (przy pozostałych składowych równych zero), a dokładniej to nie ujemny, ale przeciwny do wektora położenia.

Bede kruszyl kopie

Bardzo proszę. Najpierw jednak powiedz, o co. Bo ja naprawde pretekstu do polemiki nie widzę żadnego i nie wiem, o co w rzeczywistości my się tutaj spieramy od dobrej godziny .

[liu]

Ułaaa, a co z \(\displaystyle{ (-1,-1,-1)}\)?

Czy nie chciales przypadkiem powiedziec, ze istnieje taki uklad wspolrzednych, ze mozna go zapisac w takiej postaci?

[Amon-Ra]

No i co to ma do rzeczy ... Nadal nie powiedziałeś mi, jakie masz zastrzeżenia i o czym tak naprawdę chcesz dyskutować. Bo to, co napisałeś, to jedynie składowe wektora skierowanego w pewien sposób. I co z tego? Jego wartość (długość) to rzecz jasna \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), jeżeli taką odpowiedź chciałeś uzyskać... Tylko szczerze nie wiem, po co.

PS. Zmodyfikowałem nieco zapis wektorowy w poprzednim poście, usuwając pionowe kreski, aby z wartością bezwzględną się nie myliły.

[PawelJan]

I prawo dynamiki dla ciała o ciężarze Q leżącego na stole:
\(\displaystyle{ \vec{Q}+\vec{S}=0}\)
Skalarnie (uwzględniajac zwrot):
\(\displaystyle{ Q-S=0}\)

A więc
\(\displaystyle{ \vec{Q}=-\vec{S} \\ Q=S}\) czyli \(\displaystyle{ \vec{F}=-k\vec{x}\\F=kx}\)

i gdzie tu Twój brak poprawności?

Ja widzę zaprzeczenie samemu sobie...