Nierówność z wartością bezwzględną

[urchin]

\(\displaystyle{ \left|x+4 \right| + \left| x\right| > 1}\)

Jak to rozwiązać?

[Lbubsazob]

Rozwiąż w 3 przedziałach:
1) \(\displaystyle{ \left(-\infty, -4 \right)}\)
2) \(\displaystyle{ \left<-4,0 \right)}\)
3) \(\displaystyle{ \left<0, \infty \right)}\)

[mat_61]

Wskazówka:

Rozwiąż tą nierówność w trzech przedziałach:

\(\displaystyle{ 1. \ x \in (- \infty ;-4) \\
2. \ x \in <-4;0) \\
3. \ x \in <0; \infty )}\)

Edit:
Przegapiłem, że jest już wskazówka do tego zadania.

[urchin]

Może tak:

Wiem jak rozwiązać
\(\displaystyle{ \left| x+4\right| >1}\)

\(\displaystyle{ x+4>1 \vee x+4 < -1}\)
jak rozrysować i opisać rozwiązanie.


Nie umiem połączyć tych dwóch wartości bezwględnych.

[Lbubsazob]

Dla \(\displaystyle{ x \in \left(-\infty, -4 \right)}\) równanie ma postać: \(\displaystyle{ -x-4-x>1}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in \left<-4,0 \right)}\) - \(\displaystyle{ x+4-x>1}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in \left<0, +\infty \right)}\) - \(\displaystyle{ x+4+x>1}\).
Rozwiąż te 3 nierówności.

[urchin]

Wiem że \(\displaystyle{ x \in R}\) ale nie umiem tego logicznie pokazać w rozwiązaniu.

[Lbubsazob]

Pierwszy przedział:
\(\displaystyle{ -2x-4>1 \\
-2x>5 \\
x<-2,5}\)
Ale przedział jest \(\displaystyle{ \left(-\infty, -4 \right)}\), więc wszystkie liczby spełniające ww. równanie należą do przedziału.

Drugi:
\(\displaystyle{ x+4-x>1 \\
4>1}\)
no to logiczne, że \(\displaystyle{ x \in R}\)

Trzeci:
\(\displaystyle{ x+4+x>1 \\
2x>-3 \\
x>-1,5}\)
A w przedziale są same liczby dodatnie i zero, więc znowu wszystkie spełniają nierówność.

In conclusion, \(\displaystyle{ x \in R}\).

[urchin]

Dzięki za pomoc!

Mam jeszcze takie pytanie

jeżli ta nierówność wyglądała by inaczej np tak
\(\displaystyle{ \left| x+4\right| + \left|x-2 \right| > 1}\)

Jak określać te przedziały i jak to pokazać w obliczeniach.

Bardzo proszę o dokładne wyjasnienie, zgóry dziękuję.

[Lbubsazob]

1) \(\displaystyle{ \left(-\infty, -4 \right)}\)
2) \(\displaystyle{ \left<-4, 2 \right)}\)
3) \(\displaystyle{ \left<2, +\infty \right)}\)
Robisz na tej samej zasadzie.

[urchin]

Jak się ustala te przedziały jeśli są dwie wartośc bezwzględne np \(\displaystyle{ \left| x+4\right| lub \left| x-2\right|}\) i jak to się później oblicza i analizuje?

[miki999]

Sprawdza się miejsca zerowe modułów. W Twoim przypadku jest to \(\displaystyle{ -4}\) i \(\displaystyle{ 2}\), więc wyznaczamy kolejno przedziały przelatując przez wszystkie możliwości od \(\displaystyle{ - \infty}\) i otrzymujemy to, co napisała Lbubsazob.



Pozdrawiam.

[urchin]

Czy miejsca zerowe zawsze zapisujemy ża należą do przedziału?
Dlaczego w jednym przedziale nie należy a w drugim należy?

[Lbubsazob]

Chodzi Ci o to, dlaczego w jednym jest np. \(\displaystyle{ \left(-\infty, -4 \right)}\), a w drugim \(\displaystyle{ \left<-4, +\infty \right)}\)?
Bo zgodnie z definicją wartości bezwzględnej \(\displaystyle{ \left| x+4\right|= \begin{cases} x+4 dla x \ge -4 \\ -x-4 dla x<-4 \end{cases}}\). Wobec tego tam, gdzie mniejsze, przedział jest otwarty, a tam, gdzie większe - domknięty.

[miki999]

Jeżeli mamy wyrażenie w wartości bezwzględnej, to zastanawiamy się czy jest ona mniejsza czy większa od \(\displaystyle{ 0}\) (i odpowiednio zmieniamy znak gdy mamy wartość ujemną pod modułem). Do którego z przedziałów należy wartość graniczna nie jest istotne, bo zawsze zeruje ona ten moduł.
Zatem mogłyby one wyglądać tak jak wyżej:
1) \(\displaystyle{ (-\infty, -4 )}\)
2) \(\displaystyle{ \langle -4, 2 )}\)
3) \(\displaystyle{ \langle 2, +\infty )}\)
Ale równie dobrze moglibyśmy napisać:
1) \(\displaystyle{ (-\infty, -4 \rangle}\)
2)\(\displaystyle{ (-4, 2\rangle}\)
3) \(\displaystyle{ (2, +\infty )}\)

Umówiono się, że jeden z końców przedziału domykamy, a drugi zostawiamy otwarty, bo w przeciwnym razie:
- gdyby oba były otwarte to byśmy pomijali jedną wartość,
- a gdyby oba były domknięte to niejako byśmy 2 razy sprawdzali tę samą liczbę, co wydaje się zbędne.



Pozdrawiam.

[urchin]

dzięki! już trochę jaśniej

Pozdrawiam


Mam jeszcze pytanie jak się tworzy te równania do rozwiązania - zmienia znaki każej wartości bezwzględnej, jaka jest tu zasada?

-- 25 kwi 2010, o 15:19 --

Dla \(\displaystyle{ x \in \left(-\infty, -4 \right)}\) równanie ma postać: \(\displaystyle{ -x-4-x>1}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in \left<-4,0 \right)}\) - \(\displaystyle{ x+4-x>1}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in \left<0, +\infty \right)}\) - \(\displaystyle{ x+4+x>1}\).
Rozwiąż te 3 nierówności.

Proszę wyjaśnijcie mi jeszcze jak są tworzone te nierówności, jak się ustala znak - lub + przed składnikami
wyjściowa nierówność jest \(\displaystyle{ \left|x+4 \right|+ \left|x \right| >1}\) a póxniej znaki się zmianiają ale jaka jest zasada?

np tu \(\displaystyle{ x+4-x>1}\)
lub tu \(\displaystyle{ -x-4-x>1}\) ?