[LXI OM] - III etap

[ironleaf]

1. Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n > 1}\) i zbiór \(\displaystyle{ S \subseteq \{ 0, 1, 2,..., n-1\}}\) mający więcej niż \(\displaystyle{ \frac{3}{4}n}\) elementów. Dowieść, że istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\), że reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ a, b, c, a+b, a+c, b+c, a+b+c}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ S}\).

2. Dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ {a}^{3}+4{a}^{2}b=4{a}^{2}+{b}^{4}}\). Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{a}-1}\) jest kwadratem liczby wymiernej.

3. Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym kąt \(\displaystyle{ DAB}\) jest ostry. Punkty \(\displaystyle{ A, P, B, D}\) leżą w tej kolejności na jednym okręgu. Proste \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ CPQ}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ D \neq O}\), to proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ DO}\) są prostopadłe.-- 22 kwietnia 2010, 14:18 --+

4. Wewnątrz boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leżą różne punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) przy czym \(\displaystyle{ BD < BE}\). Niech \(\displaystyle{ {p}_{1}}\) i \(\displaystyle{ {p}_{2}}\) oznaczają odpowiednio obwody trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ {p}_{1} > {p}_{2} + 2\min\{BD, EC\}}\).

5. Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 3}\) daje resztę 2 z dzielenia przez 3. Niech \(\displaystyle{ {a}_{k}={k}^{2} + k + 1}\) dla \(\displaystyle{ k=1, 2, 3,...,p-1}\). Wykazać, że iloczyn \(\displaystyle{ {a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}...{a}_{p-1}}\) daje resztę 3 z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\).

6. Dana jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ C > 1}\). Ciąg dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ {a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3},...}\), w którym \(\displaystyle{ {a}_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ {a}_{2}=2}\), spełnia warunki \(\displaystyle{ {a}_{mn}={a}_{m}{a}_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ {a}_{m+n} \leq C({a}_{m}+{a}_{n})}\) dla \(\displaystyle{ m, n =1, 2, 3,...}\) . Dowieść że \(\displaystyle{ {a}_{n}=n dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\) .}\)

[paladin]

Czy tylko ja mam wrażenie, że trzy spośród zadań są prostackie i łopatologiczne, a jeszcze jedno nieco tylko sprytniejsze, ale wciąż nietrudne?

[edit:] ok, nie doceniłem drugiego dnia. Ale pierwszy wciąż mi się nie podoba.

[kaszubki]

Częściowe wyniki OM:
Damianito - 36 pkt (1. miejsce) - IMO
Elvis - 24 pkt (2. miejsce) - IMO
XmAS11 - 23 pkt (4. miejsce) - IMO
Swistak - 21 pkt (8. miejsce) - rezerwa na IMO + MEMO
limes123 - 19 pkt (10. miejsce) - Baltic
jerzozwierz - 18 pkt (11. miejsce) - Baltic
barendt - 17 pkt (14. miejsce) - MEMO
SaXoN - 12 pkt (23. miejsce)
Łodzianin - 12 pkt (23. miejsce)
kaszubki - nieważne

[jerzozwierz]

Haha, jestem laureatem Nie wiem jakim cudem mi się to udało, ale cóż, tylko cieszyć
Może kilka słów o zadaniach:
Pierwsze było dziwne, na sam pomysł wpadłem dość wcześnie, ale zanim go sformułowałem minęło sporo czasu, nie wierzyłem, że zadanie z finału może pójść w tak chamski i banalny sposób.
Drugie też mi się nie podoba, tutaj chodziło o to, czy się wpadnie na odpowiednie przekształcenie. Niektórzy lepsi nie wpadli, a słabsi wpadli.
Trzecie jest fajne, żałuję że nie zrobiłem. Taka przyjemna geo.
Czwarte nie było złe, ale wystarczyło pokombinować z nierównością trójkąta i szło.
Piąte bardzo fajne. Ja nawet nie ruszyłem, bo nie skojrzyłem banalnego wzoru na a^3 - b^3. Bywa.
Szóste kosmos, ale wzorcówka daje radę.

[tkrass]

Wzorcówka do szóstego, a właściwie jej pierwsza (i główna) część to dla mnie są czary.

Gratulacje dla wszystkich.

[Mruczek]

Ilu było laureatów i jaki próg na laureata?

[jerzozwierz]

Próg chyba 16 albo 17, a laureatów było coś koło 16.
tkrass: czary, ale efektowne

[binaj]

nie ma to jak przegrać IMO drugim etapem

[kubek1]

Gratulacje dla wszystkich laureatów i wyróżnionych, a szczególnie dla Damianito

Ilu było laureatów i jaki próg na laureata?

Na karteczkach, które leżały na ławce, pisało, że było 18 laureatów i 15 wyróżnionych.

[Swistak]

Ja się niesamowicie cieszę . W tym roku nawet nie marzyłem o IMO i wprawdzie na nie nie jadę, ale było bardzo blisko .
Miałem wyjątkowo egzotyczne oceny :]
6 2 5 6 0 2
Te dwie dwójki spowodowały, że też mam taki rzadko spotykany wynik .
Po zawodach obstawiałem, że w najbardziej pesymistycznym przypadku będę mieć 602600, a w najbardziej optymistycznym 625602, jednak były to skrajności, których raczej się nie spodziewałem xp. Swoją drogą rok temu obstawiałem w najbardziej pesymistycznym przypadku 4 pkty, a miałem 2 ;D.

Podobno były tylko 3 dodatnie oceny za zadanie nr 6. Szóstka Damiana Orlefa, i dwie dwójki - moja i mojego kolega z klasy, dzięki której on jedzie na Zwardoń xD.
Moje opinie o zadaniach:
1. Strasznie głupkowate. Po ponad godzinie zauważyłem, że te liczby nie muszą być różne i byłem przekonany, że jest to niedomówienie w treści zadania, a to co ja robię to jest jakieś kompletne oszustwo i wykorzystywanie niedopracowań treści i pójście na łatwiznę, przy hardkorowej wzorcówce xp. Poza tym mój dowód dało się przekształcić łatwo w dowód dla ograniczenia \(\displaystyle{ \frac{2n}{3}}\), co jeszcze bardziej mnie upewniało w tym przekonaniu xp (btw w pracy udowodniłem dla tego słabszego, ale to dlatego, bo łatwiej się je zapisywało). Okazało się jednak, że to zadanie z zamierzenia było takie głupkowate xp.
2. Nawet fajne zadanie. Szkoda tylko, że ja mam fobię z wymnażaniem przez mianowniki i po stosunkowo szybkim dojściu do tego ułamka nie wymnożyłem wszystkiego przez mianownik i wtedy wychodziło już natychmiastowo :/. Szkoda, bo siedziałem nad nim łącznie z 2,5-3h, a nie było takie trudne. Zawsze można gdybać, że gdybym jednak nie miał tej fobii, to miałbym 2 miejsce xD. Ale gdybanie gdybaniem, stało się xp.
3. Bardzo fajne zadanie. Szkoda tylko, że w przypadku robienia na kątach trzeba było rozpatrywać miliard przypadków xp. Swoją drogą jestem ciekaw statystyk, bo byłem przekonany, że z geometrii jestem megadupa, a zrobiłem to w jakieś 0,5h :].
4. Bardzo ładne . Na początku zastanawiałem się, czy to wystarczy tylko nierówność trojkąta, czy będą jakieś sinusy/cosinusy ;P. Na szczęście znałem oba triki potrzebne do tego zadania i w efekcie padło po jakichś 40 minutach. To, że jak punkt jest we wnętrzu trójkąta, to blablablabla robiłem jadąc pociągiem na finał LX OM xD. Miałem wtedy ostrą przymułę, bo robiłem to z 1h, ale w końcu zrobiłem .
5. Piękne, super, mega, cud-miód i uberall xD. Kocham takie zadania, należą do moich ulubionych . Bardzo żałuję, że go nie zrobiłem, w szczególności jedyne zadanie, za które miałem niedodatnią liczbę punktów xp. Nawet w pewnym momencie zamieniłem te wyrazy na ułamki, ale informatyczna część mojego mózgu mi wtedy podpowiedziała, że dzielenie, gdy mamy do czynienia z modulo jest bardzo niefajne i porzuciłem ten pomysł ;P.
6. pr0, wzorcówka koksi ;P.


O, binaj nie wiedziałem, że to ty byłeś tym pechowcem xp. Ale fajnie, że też nieźle przykoksiłeś . Btw spotkamy się na MEMO .
Ogólnie matematyka.pl przykoksiła, bo zajęliśmy w sumie miejsca 1, 2, 2x4, 8, 10, 11, 14 ;D.

Wiem, że się bardzo rozpisałem, ale no tyle wrażeń, ciężko tak w krótkich słowach opisać :].

I oczywiście serdeczne gratulacje wszystkim, którzy są zadowoleni ze swoich wyników .-- 24 kwietnia 2010, 21:38 --

0-2: beznadziejnie
3-8: kiepściutko
9-12: w miarę
13-16: mogę być zadowolony
17-20: mogę być bardzo zadowolony
21-36: euforia .

EUFORIAAAAAA!!!!! XDDDD

[mm-aops]

no coz Swistak, przynajmniej jedno zadanie wyzerowales!

[KPR]

A ja mam takie opinie o zadaniach:
1. To było takie zadanie, że rozwiązanie "było w zasięgu ręki", tylko trzeba było sięgnąć .
2. A to takie trochę przekształcania, i wychodzi.
3. Jakaś dziwaczna geometria, głupie dane, nie wiadomo jak je powiązać.
4. Proste, tylko ważne żeby się nie pogubić i nie strzelić blefa.
5. Niby proste, ale te sześciany trzeba było udowodnić, co było denerwujące.
6. No cóż...
Ja miałem 060600, ale prawie (robi wielką różnicę) miałem 060620, i gdybym dopisał jedno zdanie pewnie jechałbym na MEMO albo na Baltic-Way.

[SaxoN]

U mnie 600060... Niby 12 punktów to w mojej skali było "dobrze", ale pozostaje niedosyt. W moim zasięgu był zadania 1,2,4,5. Opinie na temat poszczególnych zadań:

1. Proste, ale denerwująco długo formułowałem rozwiązanie. Zbyt długo próbowałem siedzieć nad dowodem, że można wziąć takie a=b=c, że teza działa.
2. Trochę mi się nie podobało. Wzorcówka to taki random, może na nie wpaść gorsza osoba, a wyłożyć się lepsza. Tego zadania strasznie żałuję, bo wymyśliłem połówki dwóch rozwiązań, które później okazało się, że działały. Obydwa pomysły porzuciłem ponieważ "To chyba nie wyjdzie"...
3. Geometria poza moim zasięgiem, dość ładne.
4. Geometria w moim zasięgu. Boli tym bardziej, że pierwszym ruchem jaki wykonałem było... dopełnienie do równoległoboku. Poza tym można było wymyślić ładne rozwiązanie oparte na nierówności Karamaty (po wstawieniu układu współrzędnych). Niestety nie popatrzyłem wtedy na nierówność jako na sumy funkcji. To był chyba mój największy błąd w całym finale- ze względu na moją specyfikę ten pomysł sam powinien mi się narzucić.
5. Jak tylko przeczytałem, wiedziałem, że to zrobię. Nie myliłem się- po 5 minutach drugiego dnia pozostało spisać rozwiązanie na czysto. Poza tym zarówno sama teza jak i rozwiązanie wyglądają ładnie estetycznie ^^
6. Megahardkor, jak już zapewne wiecie. Rozwiązanie Damiana rozwala kosmos, zaś wzorcówka jest tak elementarna i logiczna, że człowiek zastanawia się, dlaczego na to nie wpadł... Ale chyba na tym polega urok tego zadania- elementarne rozwiązanie, na które nie sposób wpaść

I ogólnie gratuluję wszystkim finalistom, w szczególności laureatom i wyróżnionym ^^

[Swistak]

no coz Swistak, przynajmniej jedno zadanie wyzerowales!

Lol, widzę, że ktoś ze Staszica xD.

Btw ja na finał jechałem w przeświadczeniem, że z geo jestem bardzo cienki, a z algebry i teorii liczb bardzo dobry i za geo dostałem 11/12 pkt, a za algebrę+teorię liczb 4/18 pkt xD.

[SaxoN]

Ja też miałem przeświadczenie, że z geo jestem cienki. Nie myliłem się- 0/12 pkt. Z teorii liczb jestem dobry więc zrobiłem, a algebra była tępa na finale