Witam mam takie zadanko
Zbadaj zbieżność następującego szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \sqrt[3]{n^{3}+1} - n}\)
Szereg spełnia kryterium konieczne ale nie mam pomysłu od której strony podejść z kryterium wystarczającym. Proszę o pomoc
PS. W schemacie oceniania \(\displaystyle{ n}\) było wyciągnięte przed nawias (również z pierwiastka) a następnie pierwiastek rozpisany na jakiś szereg tylko zupełnie nie wiem skąd
Zbadaj zbieżność szeregu
-
miodzio1988
-
Dudas
- Użytkownik
- Posty: 333
- Rejestracja: 4 lis 2009, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 75 razy
Zbadaj zbieżność szeregu
Zrobiłem tak :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+1}-n} = n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} - 1})}\)
Teraz \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^2+ab+b^2) \Rightarrow a-b = \frac {a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\)
Więc :
\(\displaystyle{ n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} - 1}) = n \cdot \frac {1+\frac{1}{n^3}-1}{(1+\frac{1}{n^3})^{\frac {2}{3}} + \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} +1}}\)
Ostatecznie :
\(\displaystyle{ n \cdot \frac {1+\frac{1}{n^3}-1}{(1+\frac{1}{n^3})^{\frac {2}{3}} + \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} +1} = \frac {1}{n^2((1+\frac{1}{n^3})^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}+1)} \le \frac {1}{n^2}}\)
Stąd szereg jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego
Zgadza się?
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+1}-n} = n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} - 1})}\)
Teraz \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^2+ab+b^2) \Rightarrow a-b = \frac {a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\)
Więc :
\(\displaystyle{ n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} - 1}) = n \cdot \frac {1+\frac{1}{n^3}-1}{(1+\frac{1}{n^3})^{\frac {2}{3}} + \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} +1}}\)
Ostatecznie :
\(\displaystyle{ n \cdot \frac {1+\frac{1}{n^3}-1}{(1+\frac{1}{n^3})^{\frac {2}{3}} + \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}} +1} = \frac {1}{n^2((1+\frac{1}{n^3})^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}+1)} \le \frac {1}{n^2}}\)
Stąd szereg jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego
Zgadza się?