Granice ciągów (silnie i potęgi)

[lopcio]

Witam. Proszę o pomoc w znalezieniu następujących granic:

1. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(2n)!}{n! \cdot (n+1)!}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n}}{5^{n} \cdot n!}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{2n^{2}+1}{en^{2}+3} )^{n}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{3n-1}{n} ^{1-2n})}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^{n^{2}}}{3^{n} \cdot n^{n^{2}}}}\)

6. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1} \right| } }}\) W tym przypadku zależnie jak liczę, to raz wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\), a raz \(\displaystyle{ e^{2}}\).


Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.

[Zordon]

152288.htm zobacz tu, m.in. przykład 29.
5. granica wynosi zero, ponieważ, szereg o takim wyrazie ogólnym jest zbieżny (kryt. Cauchyego).

pokaż jak Ci wychodzi \(\displaystyle{ e^2}\) w 6.

[lopcio]

Dziękuję za pomoc.

A co do granicy nr 6 - wykombinowałem coś takiego (teraz wychodzi mi \(\displaystyle{ e^{-4}}\)):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \left| \frac{n}{3n-1} \right| ^{2n-1}}=\lim_{n \to \infty } \left( \frac{n}{3n-1}\right)^{ \frac{2n-1}{n} } =\lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n-1}{n} \right)^{ -\frac{2n-1}{n} }=\lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{2n-1}{n} \right)^{ -\frac{2n-1}{n} }=\lim_{n \to \infty } \left[ \left(1+ \frac{1}{ \frac{n}{2n-1} } \right)^{ \frac{n}{2n-1} } \right]^{- \frac{ \left(2n-1 \right)^{2} }{n^{2}}}=e^{-4}}\)

Gdzie popełniam błąd?

[miki999]

Z linku, który podał Zordon przeczytaj twierdzenie o liczbie \(\displaystyle{ e}\) (chyba 8.) i zastanów się dlaczego w Twoim przypadku nie możesz go wykorzystać.



Pozdrawiam.