równanie z wartościami bezwzględnymi

[herbaciarz]

\(\displaystyle{ |3x+6|+|7x+14|=10}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{9x^{2}-6x+1}+|9x-3|=12}\)

Jaki będzie najlepszy sposób na rozwiązanie tych dwóch równań?

[AlNeri]

\(\displaystyle{ |3x+6|+|7x+14|=10}\)
najpierw przyrównaj sobie do zera wartości każdego modułu

\(\displaystyle{ 3x+6=0 \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2}\)
oraz
\(\displaystyle{ 7x+14=0 \Rightarrow 7x=-14 \Rightarrow x=-2}\)

dla \(\displaystyle{ x \ge -2}\) oba równania \(\displaystyle{ 3x+6}\) i \(\displaystyle{ 7x+14}\) przyjmują wartość nie ujemną więc opuszczasz moduł bez zmiany znaku, a dla \(\displaystyle{ x<-2}\) w obu przypadkach wynik obu równań jest ujemny i zmieniasz znaki

więc dla\(\displaystyle{ x \ge -2}\)
równanie ma postać:
\(\displaystyle{ 3x+6+7x+14=10 \Rightarrow 10x+20=10 \Rightarrow 10x=-10 \Rightarrow x=-1}\)
przy czym \(\displaystyle{ -1>-2}\) więc masz jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ -3x-6+(-7x-14)=10 \Rightarrow -3x-6-7x-14=10 \Rightarrow -10x-20=10 \Rightarrow -10x=30 \Rightarrow x=-3}\)
przy czym \(\displaystyle{ -3<-2}\) więc masz drugie rozwiązanie

wynik:
mnie uczono żeby zapisywać \(\displaystyle{ x_{0} \in}\){-3,-1}
ale jak chcesz bo podejrzewam że to pierwsza klasa możesz napisać po prostu
\(\displaystyle{ x\in}\){-3,-1}

\(\displaystyle{ \sqrt{9x^{2}-6x+1}+|9x-3|=12}\)

tutaj zamieniasz \(\displaystyle{ \sqrt{9x^{2}-6x+1}=\sqrt{(3x-1)^{2}}}\)
wzór skróconego mnożenia
i wykorzystujesz własność którą się poznaje w 1 liceum że \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} = \left| x\right|}\)

i twoje równanie wygląda następująco:

\(\displaystyle{ |3x-1|+|9x-3|=12}\)

teraz analogicznie do pierwszego
przyrównujesz do zera oba moduły
\(\displaystyle{ 3x-1=0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x= \frac{1}{3}}\)
oraz \(\displaystyle{ 9x-3=0/:3 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x= \frac{1}{3}}\)

analogicznie jak nie poradzisz sobie to ci wyśle skana ręcznie napisanego rozwiązania na PW bo męczy mnie ten latex
ale wszystko robisz i sprawdzasz oczywiście czy należy do dziedziny-- 19 kwi 2010, o 21:23 --O teraz zrobiłem to na jeszcze inny sposób
\(\displaystyle{ |3x+6|+|7x+14|=10}\)

wyciągasz z pierwszego 3 przed nawias a z drugiego 7 i masz
\(\displaystyle{ 3|x+2|+7|x+2|=10}\)
\(\displaystyle{ 10|x+2|=10/:10}\)
\(\displaystyle{ |x+2|=1}\)
\(\displaystyle{ x+2=-1 \vee x+2=1}\)
\(\displaystyle{ x=-3 \vee x=-1}\)

masz dokładnie te same odpowiedzi

zamiana w pierwszym sposobie 2 równania jest pożyteczna ale po zamianie w tym przypadku tak samo
\(\displaystyle{ |3x-1|+|9x-3|=12}\) wyciągasz z drugiego 3przed nawias
\(\displaystyle{ |3x-1|+3|3x-1|=12}\)
\(\displaystyle{ 4|3x-1|=12/:4}\)
\(\displaystyle{ |3x-1|=3}\)
\(\displaystyle{ 3x-1=-3 \vee 3x-1=3}\)
\(\displaystyle{ 3x=-2 \vee 3x=4}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3} \vee x= \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}}\)