liczby nieparzystne i sześcian

[Grzechu1616]

Krawędziom sześcianu przypisujemy kolejne liczby nieparzyste od 1 do 23 (każdej krawędzi inną liczbę). Wykaż, że nie można tego zrobić w taki sposób, by w każdym wierzchołku sześcianu spotkały się krawędzie, dla których suma przypisanych im liczb jest równa 35.





Można to potraktować jako ciąg arytmetyczny i że suma nie dzieli się przez 35? W podpowiedziach napisano, żeby zrobić dowód nie-wprost, może ktoś powiedzieć jak się robi taki dowód ?

[Mortify]

Zakłada się, że można to zrobić i dochodzi się do sprzeczności.

-- 16 grudnia 2009, 00:57 --

Możemy założyć, że jest to prawdą. Oznacza to, że przy wszystkich wierzchołkach mamy łącznie liczbę: \(\displaystyle{ 8*35}\).
Ponieważ użyliśmy liczb \(\displaystyle{ 1,3,..,23}\) to ich suma to: \(\displaystyle{ 0,5(1+23)*12=6*24}\). Mamy sprzeczność, bo \(\displaystyle{ 6*24 \neq 8*35}\).-- 16 grudnia 2009, 01:01 --Można też zrobić wprost. Np: używamy liczb \(\displaystyle{ 1,3,...,23}\). Ich suma to: \(\displaystyle{ 144}\). Liczba 144 nie dzieli sie bez reszty przez 35, więc takimi liczbami nie można zrobić, by przy każdym wierzchołku było 35.

[Grzechu1616]

no to chyba dobrze bym to zrobił

[Mortify]

tak

[gaderyk]

Ja spróbowałem zrobić to w ten sposób:
\(\displaystyle{ 2n-1, 2n+1, 2n+3}\) to kolejne liczby nieparzyste. Suma wartości przy jednym wierzchołku wynosi zatem \(\displaystyle{ 6n+3}\). Gdy przystawię to do \(\displaystyle{ 6n-9 \neq 35}\)
wyjdzie mi \(\displaystyle{ 6n \neq 32}\) a 32 nie jest podzelne przez 6, bo \(\displaystyle{ n \in C}\). Czy takie rozumowanie jest prawidłowe?

[Mortify]

Nie, ponieważ zakładasz, że przy wierzchołku spotkają się krawędzie, którym przypisane są 3 KOLEJNE liczby nieparzyste,a wcale tak nie musi być. w jednym wierzchołku mogą być np: 1, 15, 21.

[gaderyk]

Czyli rozumiem, że tylko te dwa pokazane wcześniej sposoby są prawidłowe, czy jest jeszcze jakaś inna metoda rozumowania, którą można dojść do prawidłowego wyniku?

[Mortify]

Jest wiele dróg, ale to zadanie jest na tyle krótkie, że głównym pomysłem jest to, że sumując liczby na wszystkich krawędziach nie otrzymamy wielokrotności 35.

[.Giv]

Problem polega jednak na tym, że do każdej krawędzi przypisane są 2 wierzchołki. Więc jeśli w ten sposób, to udowodnić należy, że 144*2 \(\displaystyle{ \neq}\)35*8.