Wyznacz ciąg geometryczny a[n]

[ekk3]

Wyznacz ciąg geometryczny \(\displaystyle{ a_{n}}\), w którym :


\(\displaystyle{ a_{4}-a_{2} = 24}\) oraz \(\displaystyle{ a_{2} +a_{3} = 6}\)

[agulka1987]

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}}\)

rozwiazujesz układ równan

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}q^3 - a_{1}q=24 \\ a_{1}q+a_{1}q^2 = 6 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}= \frac{1}{5} \\ q=5 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{5} \cdot 5^{n-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5^n}{5} = \frac{5^n}{5^2} = 5^{n-2}}\)

[ekk3]

Bardzo proszę o sposób rozwiązania tego układu równań :

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}q^3 - a_{1}q=24d \\ a_{1}q+a_{1}q^2 = 6 \end{cases}}\)

Czyżby :

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1} ( q ^{3} - q ) = 24 \\ a_{1} (q+q^{2}) = 6\end{cases}}\)


i co dalej ?

[agulka1987]

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{24}{q^3-q}}\)

podstawaiasz do 2 równania za a i liczysz

[ekk3]

Czyli :

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{24}{q^3-q}}\)


\(\displaystyle{ \frac{24}{q^3-q} * (q+q^{2}) = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24 * (q+q^{2}) }{q^3-q} = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24q^{2} + 24 q }{q^3-q} = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24q^{2} + 24 q }{q^3-q} = 6 /*(q^{3} - q)}\)


\(\displaystyle{ \24q^{2} + 24 q = 6 *(q^{3} - q)}\)


\(\displaystyle{ 24q^{2} + 24 q = 6q^{3} - 6q}\)


\(\displaystyle{ 24q^{2} + 24 q -6q^{3} + 6q = 0}\)



Gdzie jest błąd ? Jak to obliczyć ?

[agulka1987]

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{24}{q^3-q}}\)


\(\displaystyle{ \frac{24}{q^3-q} * (q+q^{2}) = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24q * (1+q) }{q(q^2-1)} = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24(q + 1) }{q^2-1} = 6}\)

\(\displaystyle{ \frac{24(q + 1) }{(q-1)(q+1)} = 6}\)


\(\displaystyle{ \frac{24 }{q-1} = 6 /*(q -1)}\)

\(\displaystyle{ 24 = 6(q-1)}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{24}{6} + 1 = 5}\)