Zad na dowodzenie

[czorcica]

Udowodnij, korzystając z nierówności trójkąta, że
sin ( α + β )>sin α + sin β

[Olo]

nie da się tego udowodnić, bo nie jest to prawdą. choćby dla a=b=90. Założenia co do a,b by się przydały?

[czorcica]

Da się to udowodnić. Tylko nie pamiętam jak. Ale jakoś łatwo. I żadnych założeń nie potrzeba, oprócz c>a+b

[Rogal]

No, jeżeli Olo podał kontrprzykład do twierdzenia, to znaczy, że coś pochrzaniłaś.

[bolo]

Zróbmy parę przekształceń tak by klarownie otrzymać sprzeczność:

\(\displaystyle{ \alpha+\beta\in(0;\pi)}\)

\(\displaystyle{ sin(\alpha+\beta)>sin\alpha+sin\beta \\ 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})>2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ cos(\frac{\alpha+\beta}{2})>cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ cos(\frac{\alpha+\beta}{2})-cos(\frac{\alpha-\beta}{2})>0 \\ -2sin(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}}{2})sin(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}}{2})>0 \\ sin(\frac{\alpha}{2})sin(\frac{\beta}{2})}\)

[juzef]

Jeśli kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są dowolne, to nierówność nie jest prawdziwa, a zatem nie da się jej udowodnić.

[bolo]

Wystarczy, że znak nierówności będzie w drugą stronę i będzie OK.

[juzef]

Jeśli nie będzie dodatkowych założeń dotyczących kątów, to nie wystarczy zmiana znaku nierówności.

[bolo]

Mimo nazwy "nierówność trójkąta", która dotyczy również i innych rzeczy, to tutaj widząc kąty łatwo się domyślić, że pewnie chodzi akurat o pewien trójkąt i tyle... Bez sensu byłoby badać co innego bez podania założeń, a tak to przynajmniej można się domyślić.

[juzef]

Jeśli chodzi o kąty w trójkącie, to wystarczy zrobić tak:
\(\displaystyle{ c + 2R \sin \beta\\ \sin \gamma< \sin + \sin \beta}\)
A ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \sin(\alpha + \beta)= \sin \gamma}\).

[czorcica]

No, jeżeli Olo podał kontrprzykład do twierdzenia, to znaczy, że coś pochrzaniłaś.

Bez takich tekstów.

Jak bede pewna na 100% to napisze tu rozwiazanie.

[mu]

Ta nierówność wcale nie jest nieprawdziwa, wystarczy dobrać odpowiednio kąty.
Zapewne powinno być u Ciebie \(\displaystyle{ \alpha+\betac}\) \(\displaystyle{ \frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}>\frac{c}{2R}}\). Z twierdzenia sinusów dostajemy \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta > \sin \gamma = \sin (\alpha + \beta)}\).

Pozdrawiam,
mu

[edit]
Widzę, że się strasznie spóźniłam

[Olo]

widzę, że czorcica jest pewna, że udowodni to co napisała Chętnie zobaczę dowód

[czorcica]

Uwaga uwaga Kompletna odpowiedź na nieprawidłowo zadane pytanie ("dziubki" miały być w odwrotną stronę ) zwracam honor wszystkim którzy zwrócili na to uwagę

\(\displaystyle{ sin(\alpha+\beta) < sin\alpha + sin\beta\\\frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma} = 2R\\a=2Rsin\alpha\\c=2Rsin\beta\\c=2Rsin\gamma\\c}\)