Pochodna funkcji uwikłanej
Pochodna funkcji uwikłanej
Witam!
Mam pewien problem... o ile potrafię liczyć pochodne, to ostatnio natrafiłem na zadanie, które mnie przerosło. Mianowicie:
Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ y=f(x)}\) danej równaniem \(\displaystyle{ x^3 - 4xy +ln y=0}\)
Jak to ruszyć? Oraz dlaczego stosuje się czasem zapis \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\) nie zaś jak uczą nas na matematyce \(\displaystyle{ \left( \right) ^{'} _{x}}\)
Mam pewien problem... o ile potrafię liczyć pochodne, to ostatnio natrafiłem na zadanie, które mnie przerosło. Mianowicie:
Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ y=f(x)}\) danej równaniem \(\displaystyle{ x^3 - 4xy +ln y=0}\)
Jak to ruszyć? Oraz dlaczego stosuje się czasem zapis \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\) nie zaś jak uczą nas na matematyce \(\displaystyle{ \left( \right) ^{'} _{x}}\)
- sir_matin
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 11 mar 2006, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legnica
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 74 razy
Pochodna funkcji uwikłanej
ponieważ y=f(x) jest funkcją uwikłaną określoną wzorem:
\(\displaystyle{ x^3 - 4xy + ln y=0}\)
więc
\(\displaystyle{ x^3 - 4xf(x) + lnf(x)\equiv0}\)
różniczkując względem x powyższą tożsamość otrzymamy:
\(\displaystyle{ 3x^2 - 4f(x) -4xf'(x)+ \frac{1}{f(x)} =0}\)
,a stąd
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x^2f(x) - 4f^{2}(x) + 1}{4xf(x)}}\)
Co do pytania o zapis, to pierwszy oznacza różniczkę, a drugi pochodną funkcji i raczej stosuje się zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}.}\)
\(\displaystyle{ x^3 - 4xy + ln y=0}\)
więc
\(\displaystyle{ x^3 - 4xf(x) + lnf(x)\equiv0}\)
różniczkując względem x powyższą tożsamość otrzymamy:
\(\displaystyle{ 3x^2 - 4f(x) -4xf'(x)+ \frac{1}{f(x)} =0}\)
,a stąd
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x^2f(x) - 4f^{2}(x) + 1}{4xf(x)}}\)
Co do pytania o zapis, to pierwszy oznacza różniczkę, a drugi pochodną funkcji i raczej stosuje się zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}.}\)
Pochodna funkcji uwikłanej
Dzięki już trochę jaśniej!
Myślałem, że różniczka to to samo... ale jednak widzę troszeczkę się one różnią
Jeszcze tylko jedno mnie zastanawia... dlaczego różniczka (na pewno nie wolno użyć słowa pochodna?) z:
\(\displaystyle{ - 4xf(x)}\)
wynosi:
\(\displaystyle{ - 4f(x) -4xf'(x)}\)
Myślałem, że różniczka to to samo... ale jednak widzę troszeczkę się one różnią
Jeszcze tylko jedno mnie zastanawia... dlaczego różniczka (na pewno nie wolno użyć słowa pochodna?) z:
\(\displaystyle{ - 4xf(x)}\)
wynosi:
\(\displaystyle{ - 4f(x) -4xf'(x)}\)
- sir_matin
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 11 mar 2006, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legnica
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 74 razy
Pochodna funkcji uwikłanej
Korzystam tutaj z pochodnej iloczynu funkcji:
\(\displaystyle{ (fg)'=f'g+fg'}\)
co do nazewnictwa to tutaj jest dosyć jasno wyjaśnione...
\(\displaystyle{ (fg)'=f'g+fg'}\)
co do nazewnictwa to tutaj jest dosyć jasno wyjaśnione...
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Pochodna funkcji uwikłanej
1. Oba zapisy oznaczają pochodną funkcji, czyli granicę ilorazu różnicowego.sir_matin pisze:Co do pytania o zapis, to pierwszy oznacza różniczkę, a drugi pochodną funkcji i raczej stosuje się zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}.}\)
2. Różniczka funkcji to \(\displaystyle{ df=\frac{df}{dx}dx=f^{\prime}(x)dx}\) o ile jest to funkcja jednej zmiennej.
3. "raczej stosuje się zapis"...? Przecież to pochodna cząstkowa...
Pochodna funkcji uwikłanej
\(\displaystyle{ df=\frac{df}{dx}dx=f^{\prime}(x)dx}\)
no to znowu mi się zamieszało bo o ile zapis \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\) znam i nie mam co do niego żadnych wątpliwości o tyle \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}dx}\) jest dla egzotyczny... spodziewałem się raczej: \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}f(x)}\)
no to znowu mi się zamieszało bo o ile zapis \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\) znam i nie mam co do niego żadnych wątpliwości o tyle \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}dx}\) jest dla egzotyczny... spodziewałem się raczej: \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}f(x)}\)
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Pochodna funkcji uwikłanej
Przecież \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}f(x)}\) to właśnie \(\displaystyle{ f^{\prime} (x) f(x)}\) . \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\) to jest operator różniczkowania, którym działasz na funkcję. Wpisuje się jej symbol obok d w "liczniku" albo pozostawia się po prawej stronie, tj. \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}f(x)}\). Efekt działania tym operatorem to otrzymanie funkcji \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\), czyli funkcji będącej pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Zapis \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\) stosuje się zamiennie z \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}}\).
Na marginesie dodam, iż powinno się raczej stosować zapis \(\displaystyle{ \left(\frac{d}{dx}f\right) (x)}\) .
Na marginesie dodam, iż powinno się raczej stosować zapis \(\displaystyle{ \left(\frac{d}{dx}f\right) (x)}\) .
Pochodna funkcji uwikłanej
Witam, jestem tu nowy, ale spostrzegłem potencjalny błąd w rozwiązaniu sir_matin ( 3 równanie),
imho, różniczkując lnf(x) mamy jeszcze pochodna funkcji wewnętrznej, czyli f'(x)/f(x) a nie 1/f(x), co oczywiście zmienia wynik.
imho, różniczkując lnf(x) mamy jeszcze pochodna funkcji wewnętrznej, czyli f'(x)/f(x) a nie 1/f(x), co oczywiście zmienia wynik.