Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) \begin{cases} ye^{- \frac{1}{x^2}} \ \ \ \ \ gdy \ \ \ x \neq 0, y \in \mathbb{R} \\ 0 \ \ \ \ \ gdy \ \ \ x=0, y \in \mathbb{R} \end{cases}}\)
Z ciągłością sobie poradziłam, wyszło mi że ciągła. A teraz różniczkowalność, pasuje liczyć pochodne, ale w jakim punkcie ? i czy y traktować jak stałą, jeśli obojętnie jaką będzie miało wartość? bardzo proszę o pomoc.
różniczkowalność funkcji
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
różniczkowalność funkcji
Zauważ, że z przecięcia wykresu funkcji płaszczyzną równoległą do osi z i do osi y i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ x=x_0}\) otrzymujemy nową funkcję, tym razem tylko zmiennej y, która istotnie jest funkcją liniową, explicite \(\displaystyle{ g(y)=ay}\), \(\displaystyle{ a=e^{-\frac{1}{x^2}}}\). Funkcja f jest ciągła, więc w celu udowodnienia różniczkowalności funkcji w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ \left(x_0,\,y_0,\,f(x_0,\,y_0)\right)}\) możemy wybrać dowolną krzywą zawartą w powierzchni wyznaczonej przez funkcję i przechodzącą przez ten punkt, wykorzystując twierdzenia o pochodnej kierunkowej. Funkcje g są liniowe, zatem funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie osi Ox.
Problematyczny jest na pewno punkt \(\displaystyle{ (0,\, 0)}\). Tak sobie myślę, że można by policzyć pochodną wzdłuż prostej wyznaczonej przez wektor \(\displaystyle{ \vec{h}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\), czyli obliczyć pochodną kierunkową
\(\displaystyle{ f^{\prime}_{\vec{h}}(x,\,y) = \nabla f \cdot \vec{h}}\),
następnie dokonać zamiany zmiennych, wprowadzając pewien parametr naturalny prostej równoległej do wybranego wektora \(\displaystyle{ r = x\sqrt{2}}\) i sprawdzić, czy pochodna kierunkowa jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ r=0}\). Z moich obliczeń wynika, że jest.
Problematyczny jest na pewno punkt \(\displaystyle{ (0,\, 0)}\). Tak sobie myślę, że można by policzyć pochodną wzdłuż prostej wyznaczonej przez wektor \(\displaystyle{ \vec{h}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\), czyli obliczyć pochodną kierunkową
\(\displaystyle{ f^{\prime}_{\vec{h}}(x,\,y) = \nabla f \cdot \vec{h}}\),
następnie dokonać zamiany zmiennych, wprowadzając pewien parametr naturalny prostej równoległej do wybranego wektora \(\displaystyle{ r = x\sqrt{2}}\) i sprawdzić, czy pochodna kierunkowa jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ r=0}\). Z moich obliczeń wynika, że jest.