Ciąg z parzystą liczbą wyrazów

[marcin22]

Witam, robiąc wczoraj arkusz maturalny natknąłem się na takie zadanie:

Rosnący ciąg geometryczny \(\displaystyle{ ( a_{n})}\) ma parzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, a ich suma jest 5 razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych.
a) Wyznacz iloraz ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n})}\)
b) Wiedząc dodatkowo, że iloczyn dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi \(\displaystyle{ 1024^{32}}\), wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu

b) nie robiłem w ogóle natomiast w a) założyłem coś takiego:
\(\displaystyle{ S_{2n}}\) - suma wszystkich wyrazów ciągu
\(\displaystyle{ S_{n}}\) - suma wyrazów o nr nieparzystych

Z równania: \(\displaystyle{ S_{2n}=5S_{n}}\) wyszło mi po skróceniu czego się da ostatecznie: \(\displaystyle{ -(q ^{n} )^{2}+5q ^{n}-4=0}\)

Mimo podstawienia pod to zmiennej \(\displaystyle{ t=q ^{n}}\) i tak w rozwiązaniu wychodzą 2 niewiadome (q i n).

Jak to zrobić? Może źle założyłem sumy tych wyrazów?

[rodzyn7773]

Zauważ, że wyrazy o numerach nieparzystych utworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q^2}\). Równanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ a_1* \frac{1-q^{2n}}{1-q} =5 *a_1* \frac{1-q^{2n}}{1-q^2}}\)

[argonus]

Witam, odświeżam temat
Mam pytanie, czemu druga suma \(\displaystyle{ a1\ast}\)\(\displaystyle{ \frac{1- q^{2n} }{1- q^{2} }}\) zamiast \(\displaystyle{ a1\ast}\)\(\displaystyle{ \frac{1- q^{2n-1} }{1- q^{2} }}\) skoro są to wyrazy nieparzyste.

[sushi]

jak masz 10 wyrazów ciagu, to 5 jest parzystych i 5 jest nieparzystych (czyli takie samo "n")

[argonus]

No tak ale w pierwszym liczymy ogólną sumę a w drugim sumę wyrazów nieparzystych...

[sushi]

to zobacz jakie masz iloraz--> w pierwszym \(\displaystyle{ q}\)--> czyli 2n elementow
w drugim \(\displaystyle{ q^2}\) czyli n- elementow to we wzorze jest \(\displaystyle{ \frac{1-(q^2)^n}{1-q^2}}\)

[argonus]

No tak... chyba przestałem myśleć.