Obliczyc pole trojkata, jezeli jego wysokosci sa rowne 12, 15, 20.
Bardzo prosze o pomoc.
Mam podpowiedz ze tseba boki wyrasic przez pole i udowodnic ze to trojkat prostakatny a przyprostokatne musza rownac sie 15 i 20, ale niewiem jak to zrobic
oblicyc pole trujkata
oblicyc pole trujkata
Oznaczasz boki symbolami a,b,c. Wysokość padająca na bok a to 12, na bok b 20, na bok c 15. Teraz przyrównujesz sobie pola trójkątów licząc każde z innej wysokosci i boku na ktory pada
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*a*12= \frac{1}{2}*c*15= \frac{1}{2}*b*20}\)
1/2 się skraca i zostaje nam
\(\displaystyle{ a*12=c*15=b*20}\)
z czego wynika że
\(\displaystyle{ c=\frac{12}{15}a= \frac{4}{5}a}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{12}{20}a= \frac{3}{5}a}\)
Widzimy że bok a jest najdłuższy więc to on jest przeciw prostokątną jeżeli trójkąt jest prostokątny. Najłatwiej sprawdzić czy trójkąt jest prostokątny z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}= \left( \frac{3}{5}a \right) ^{2}+ \left( \frac{4}{5}a \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=\frac{9}{25}a ^{2}+\frac{16}{25}a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=a ^{2}}\)
Z tego wynika ze bok c i b sa przyprostokątnymi a wiec sa równe odpowiednim wysokościom tego trójkąta, c=20 a b=15 (proponuje sobie zrobić rysunek)
a pole trójkata jest równe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*c*b=\frac{1}{2}*20*15=150}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*a*12= \frac{1}{2}*c*15= \frac{1}{2}*b*20}\)
1/2 się skraca i zostaje nam
\(\displaystyle{ a*12=c*15=b*20}\)
z czego wynika że
\(\displaystyle{ c=\frac{12}{15}a= \frac{4}{5}a}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{12}{20}a= \frac{3}{5}a}\)
Widzimy że bok a jest najdłuższy więc to on jest przeciw prostokątną jeżeli trójkąt jest prostokątny. Najłatwiej sprawdzić czy trójkąt jest prostokątny z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}= \left( \frac{3}{5}a \right) ^{2}+ \left( \frac{4}{5}a \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=\frac{9}{25}a ^{2}+\frac{16}{25}a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=a ^{2}}\)
Z tego wynika ze bok c i b sa przyprostokątnymi a wiec sa równe odpowiednim wysokościom tego trójkąta, c=20 a b=15 (proponuje sobie zrobić rysunek)
a pole trójkata jest równe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*c*b=\frac{1}{2}*20*15=150}\)