Pochodna funkcji uwikłanej

[bercikw]

Witam!
Mam pewien problem... o ile potrafię liczyć pochodne, to ostatnio natrafiłem na zadanie, które mnie przerosło. Mianowicie:
Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ y=f(x)}\) danej równaniem \(\displaystyle{ x^3 - 4xy +ln y=0}\)
Jak to ruszyć? Oraz dlaczego stosuje się czasem zapis \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\) nie zaś jak uczą nas na matematyce \(\displaystyle{ \left( \right) ^{'} _{x}}\)

[sir_matin]

ponieważ y=f(x) jest funkcją uwikłaną określoną wzorem:
\(\displaystyle{ x^3 - 4xy + ln y=0}\)
więc
\(\displaystyle{ x^3 - 4xf(x) + lnf(x)\equiv0}\)
różniczkując względem x powyższą tożsamość otrzymamy:
\(\displaystyle{ 3x^2 - 4f(x) -4xf'(x)+ \frac{1}{f(x)} =0}\)
,a stąd

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x^2f(x) - 4f^{2}(x) + 1}{4xf(x)}}\)


Co do pytania o zapis, to pierwszy oznacza różniczkę, a drugi pochodną funkcji i raczej stosuje się zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}.}\)

[bercikw]

Dzięki już trochę jaśniej!

Myślałem, że różniczka to to samo... ale jednak widzę troszeczkę się one różnią

Jeszcze tylko jedno mnie zastanawia... dlaczego różniczka (na pewno nie wolno użyć słowa pochodna?) z:
\(\displaystyle{ - 4xf(x)}\)
wynosi:
\(\displaystyle{ - 4f(x) -4xf'(x)}\)

[sir_matin]

Korzystam tutaj z pochodnej iloczynu funkcji:
\(\displaystyle{ (fg)'=f'g+fg'}\)

co do nazewnictwa to tutaj jest dosyć jasno wyjaśnione...

[bercikw]

Ooo... już trochę jaśniej

Dzięki!

[Amon-Ra]

Co do pytania o zapis, to pierwszy oznacza różniczkę, a drugi pochodną funkcji i raczej stosuje się zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}.}\)

1. Oba zapisy oznaczają pochodną funkcji, czyli granicę ilorazu różnicowego.
2. Różniczka funkcji to \(\displaystyle{ df=\frac{df}{dx}dx=f^{\prime}(x)dx}\) o ile jest to funkcja jednej zmiennej.
3. "raczej stosuje się zapis"...? Przecież to pochodna cząstkowa...

[bercikw]

\(\displaystyle{ df=\frac{df}{dx}dx=f^{\prime}(x)dx}\)
no to znowu mi się zamieszało bo o ile zapis \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\) znam i nie mam co do niego żadnych wątpliwości o tyle \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}dx}\) jest dla egzotyczny... spodziewałem się raczej: \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}f(x)}\)

[Amon-Ra]

Przecież \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}f(x)}\) to właśnie \(\displaystyle{ f^{\prime} (x) f(x)}\) . \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\) to jest operator różniczkowania, którym działasz na funkcję. Wpisuje się jej symbol obok d w "liczniku" albo pozostawia się po prawej stronie, tj. \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}f(x)}\). Efekt działania tym operatorem to otrzymanie funkcji \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\), czyli funkcji będącej pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Zapis \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)}\) stosuje się zamiennie z \(\displaystyle{ \frac{df}{dx}}\).

Na marginesie dodam, iż powinno się raczej stosować zapis \(\displaystyle{ \left(\frac{d}{dx}f\right) (x)}\) .

[Dahezn]

Witam, jestem tu nowy, ale spostrzegłem potencjalny błąd w rozwiązaniu sir_matin ( 3 równanie),
imho, różniczkując lnf(x) mamy jeszcze pochodna funkcji wewnętrznej, czyli f'(x)/f(x) a nie 1/f(x), co oczywiście zmienia wynik.