Równanie z parametrem dla których pierwiastek jest mniejszy

Urielek · Post autor: **Urielek** » 7 kwie 2010, o 21:11

Witam, siedzę już prawie godzinę nad tym zadaniem i nie mogę dojśc jak je zrobić:

Dla jakich wartości parametru a jeden z pierwiastków równania:

(2a + 1) \(\displaystyle{ x^{2}}\) - ax + a - 2= 0

jest większy od 1, a drugi mniejszy od 1?

Glo · Post autor: **Glo** » 7 kwie 2010, o 21:23

\(\displaystyle{ (2a + 1) x^{2} - ax + a - 2= 0}\)

Na moje oko, to musimy mieć:
1)Pierwiastki różnych znaków (wzory Viete'a, przypomnij sobie zależności znaków pierwiastków od ich sumy i iloczynu)
3)Deltę większą od zera - ponieważ musimy mieć dwa rozwiązania
4)Współczynnik a (współczynnik, nie parametr) musi być różny od zera, bo inaczej dostaniemy funkcję liniową, która będzie miała jedno, zero lub nieskończenie wiele rozwiązań, czyli raczej nic nam nie pasuje. W sumie zmieńmy parametr na np. m, bo ten jest dość niefortunny:
\(\displaystyle{ (2b + 1) x^{2} - bx + b - 2= 0}\)

Tak więc, żeby się wszystko kupy trzymało:
\(\displaystyle{ x_1*x_2<0 \wedge \Delta>0 \wedge a\neq0}\)

Problem mam tylko z ustaleniem kiedy pierwiastki należa do zbioru \(\displaystyle{ (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)}\). Kombinuję coś z iloczynem i sumą pierwiastków, ale na razie nic nie przychodzi mi do głowy. Pomyśl coś w tym kierunku, jak na coś wpadnę to napiszę. Może ktoś inny wspomoże

Powodzenia i pozdrawiam.

BabaJaga · Post autor: **BabaJaga** » 7 kwie 2010, o 21:30

może \(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+1>0\\ f(1)<0 \end{cases}}\)lub \(\displaystyle{ \begin{cases}2a+1 <0\\ f(1)>0\end{cases}}\)-- 7 kwi 2010, o 20:33 --Glo, czemu pierwiastki różnych znaków?

Urielek · Post autor: **Urielek** » 7 kwie 2010, o 21:34

No nad tymi wzorami Viete'a też sie zastanawiałem, ale nie ma nigdzie informacje że a ma należeć do zbioru liczb całkowitych, więc do odrzuciłem bo np \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest mniejsza od 1 ale zawsze jest dodatnia. A co więcej w odp jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Glo · Post autor: **Glo** » 7 kwie 2010, o 21:38

Oj, przepraszam najmocniej, źle przeczytałem zadanie. Nie wiem dlaczego, ale zdawało mi się, że jeden z pierwiastków ma być mniejszy od -1 a drugi większy od 1. Mój błąd.

Urielek · Post autor: **Urielek** » 7 kwie 2010, o 21:42

Ehhh nic z tego nie wychodzi mi, (2a + 1) jeśli ma być różne od zera to a ma być różne od - \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)[ ex] tymczasem jest to podane w odpowiedzi.

mazur14 · Post autor: **mazur14** » 7 kwie 2010, o 21:47

Rozwiąż następujący układ warunków: \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge \Delta>0 \wedge p<1 \wedge f(1)<0}\) gdzie p to odcięta wierzchołka paraboli a a to współczynnik przy najwyższej potędze.

Urielek · Post autor: **Urielek** » 7 kwie 2010, o 21:51

Glo nie muszą należeć do zbioru liczb całkowitych, lecz aby zastosować ten warunek że muszą być przeciwnych znaków mysiałyby należeć do całkowitych aby miało to sens

mazur14 · Post autor: **mazur14** » 7 kwie 2010, o 21:56

aha taka małą dygresja ponieważ parametr siedzi wspolczynniku a to trzeba zsumowac warunki
\(\displaystyle{ a > 0 \wedge \Delta>0 \wedge p<1 \wedge f(1)<0 \vee a < 0 \wedge \Delta>0 \wedge p<1 \wedge f(1)>0}\)

Urielek · Post autor: **Urielek** » 7 kwie 2010, o 22:01

No ok wyszło. Dzięki wszystkim za pomoc.

BabaJaga · Post autor: **BabaJaga** » 7 kwie 2010, o 23:15

wytłumaczy ktoś skąd się wzięło\(\displaystyle{ p<1}\)?