Rozwiązania równania w Z

[Jerzy_q]

Zapaść.

Czy równanie \(\displaystyle{ x^{-5}+y^{-5}=z^8}\) może mieć rozwiązanie w \(\displaystyle{ x,y,z}\) całkowitych dodatnich?

[AnimalHuman]

Tak, dla x,y,z równego 1.
Dla każdego x,y,z dodatniego całkowitego i większego od 1 po lewej masz sumę odwrotności pewnej liczby całkowitej nie dającej liczby całkowitej. Jeśli dobrze zrozumiałem treść zadania

[Jerzy_q]

Tak, dla x,y,z równego 1.

\(\displaystyle{ 1+1=1}\)?
Można to jakoś formalnie zapisać dla dowolnych potęg \(\displaystyle{ p,q}\) przy \(\displaystyle{ sgn(p)sgn(q)=-1}\)?

[AnimalHuman]

Oj racja mój błąd
No to czyli nie można ;P
Można to zapisać formalnie tak (bez signum, jeśli to wystarcza):
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in C \wedge p,q \in R_{-}} x^{p} \notin C}\)

[Jerzy_q]

A czy jeśli \(\displaystyle{ p>0,q<0}\), to można znaleźć rozwiązania do \(\displaystyle{ a^q+b^q=c^p}\)? Może przecież być \(\displaystyle{ (\not\in C)+(\not\in C)=(\in C)}\).

[AnimalHuman]

Tak, suma niecałkowitych może dać całkowitą, ale zauważ, że a i b jako liczby całkowite podniesione do potęgi q która jest mniejsza od zera zawsze da coś postaci 1 przez coś. Nie istnieją natomiast dwie liczby postaci 1/a + 1/b dającą liczbę całkowitą.

[Jerzy_q]

A \(\displaystyle{ 1/2+1/2}\)?

[Althorion]

Nie powstanie - \(\displaystyle{ a^{-5} = 2 \Rightarrow a \notin \mathbb{Z_+}}\)

[Jerzy_q]

A jeśli zapomnimy o -5, i weźmiemy jakiekolwiek \(\displaystyle{ p>0,q<0, p,q\in\mathbb{Z}}\), to jakie warunki muszą być spełnione aby \(\displaystyle{ a^q+b^q=c^p}\) miało rozwiązania? Wiem, że dla \(\displaystyle{ p<0,q>0}\) nie jest to możliwe.

[AnimalHuman]

\(\displaystyle{ p \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ q \in R}\)
Wtedy to zajdzie.

Dla p większego od 1 już nie dasz rady otrzymac liczby całkowitej dla \(\displaystyle{ c \neq 1}\)natomiast jeśli c=1 to \(\displaystyle{ p \in R}\), a co do q to nie jestem pewien, ale myślę, że \(\displaystyle{ q \in R_{-}}\) , byś odwrotności liczb całkowitych mógł zsumować do 1.