Prosiłbym o rozwiązanie pewnego zadania, dosyc nietypowego.
Miary kątów wewnętrznych wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r= 4 stopnie. Wiedząc, że największy kąt ma miarę 172 stopnie oblicz liczbę boków wielokąta.
zapisałem sobie wzór ciagu arytmetycznego i zapisałem że 172= a1 + (n-1)*4 ale niewiem jak obliczyc a1.
Ciąg w Wielokącie
-
GhostRider
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 4 kwie 2010, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
-
GhostRider
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 4 kwie 2010, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
Ciąg w Wielokącie
Istotnie mamy: \(\displaystyle{ a_1=172- 4(n-1)}\) (tu i dalej wszystko jest podawane w stopniach). Stąd suma wszystkich kątów naszego \(\displaystyle{ n}\)-kąta wynosi zgodnie ze wzorem na sumę ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ \frac{172+172-4(n-1)}{2}\cdot n = 174n-2n^2}\)
Z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ n}\)-kąt ma sumę kątów równą \(\displaystyle{ (n-2)\cdot 180=180n-360}\). Otrzymujemy więc równanie:
\(\displaystyle{ 174n-2n^2= 180n-360}\)
czyli:
\(\displaystyle{ n^2+3n-180=0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (n+15)(n-12)=0}\)
skąd widać, że musi być \(\displaystyle{ n=12}\).
Q.
\(\displaystyle{ \frac{172+172-4(n-1)}{2}\cdot n = 174n-2n^2}\)
Z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ n}\)-kąt ma sumę kątów równą \(\displaystyle{ (n-2)\cdot 180=180n-360}\). Otrzymujemy więc równanie:
\(\displaystyle{ 174n-2n^2= 180n-360}\)
czyli:
\(\displaystyle{ n^2+3n-180=0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (n+15)(n-12)=0}\)
skąd widać, że musi być \(\displaystyle{ n=12}\).
Q.