[Teoria liczb] Nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach wymiernych

[max]

Wykaż, że równanie:
\(\displaystyle{ y^{2} = 2x^{3} - x}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x,y)}\) w liczbach wymiernych.

[Karka]

pewnie się mylę ale może można sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ y= \sqrt{ 2x^{3}-x}}\) jest ciągła na przedziale np.(2; infty ), a wtedy jeśli jest ciągła to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jak się mylę to mnie popraw.

[max]

Oczywiście to dowodzi, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań rzeczywistych.
Natomiast nie wynika stąd, iż istnieje nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych.

[Eloy]

Dokonajmy następującego wzajemnie jednoznacznego wymiernego przekształcenia równania:
\(\displaystyle{ x'= 2x}\)
\(\displaystyle{ y'= 2y}\)
Otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ C: y' ^{2}=x'^3-2x'}\)
krzywej eliptycznej, do której można zastosować twierdzenie Nagella-Lutza. Należy do niej punkt \(\displaystyle{ P=( \frac{9}{4}, \frac{21}{8})}\). Na mocy twierdzenia Nagella-Lutza nie jest to punkt o rzędzie skończonym. Zatem punkty postaci:
\(\displaystyle{ nP=\underbrace{P+P+...+P}_{n}, n\in \mathbb {N}}\)
(zgodnie z zasadami dodawania punktów na krzywej eliptycznej) są parami różne. Jest ich nieskończenie wiele, wszystkie należą do krzywej \(\displaystyle{ C}\) i mają wymierne współrzędne. Każdy z nich odpowiada innemu rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ y^2=2x^3-x}\), co dowodzi tezy.
Na przykład \(\displaystyle{ 2P=( \frac{12769}{7056} , \frac{900271}{592704} )}\) i rzeczywiście \(\displaystyle{ ( \frac{12769}{14112}, \frac{900271}{1185408})}\) jest rozwiązaniem danego równania.

[max]

Fajne to twierdzenie Nagella-Lutza:)

[tkrass]

Oczywiście to dowodzi, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań rzeczywistych.
Natomiast nie wynika stąd, iż istnieje nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych.

Czy pomylę się mówiąc, że między każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna?

[max]

Nie. Jakkolwiek nie widzę jak miałoby to implikować tezę z zadania.

[xanowron]

Oczywiście to dowodzi, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań rzeczywistych.
Natomiast nie wynika stąd, iż istnieje nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych.

Czy pomylę się mówiąc, że między każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna?

Tutaj potrzeba nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (x,y)}\) takich, że \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Q}}\). Z tego wynika co najwyżej, że istotnie będzie nieskończenie wiele \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\) i nieskończenie wiele \(\displaystyle{ y}\) takich, że \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Q}}\), ale są one jak na razie "oddzielnie", bo równie dobrze każdemu \(\displaystyle{ x}\) można by przypisać do pary niewymierny \(\displaystyle{ y}\) i odwrotnie.
Czy się mylę?

[max]

To, że mamy nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x,y)}\) takich, że \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Q}, y\in \mathbb{R}}\) wynika bezpośrednio z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{2x^{3} - x}.}\)
Nie wiem co miałaby tu wnosić gęstość \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R},}\) bo przecież nieprawdą jest, że każda liczba pomiędzy dwoma rozwiązaniami jest rozwiązaniem.