Prostokąt wpisany w trójkąt.

[GhostRider]

Witam. To mój pierwszy post tutaj Jestem tegoroczonym maturzystą i często na tym forum niektóre rozwiązania mi pomagały, postaram się też tutaj czasami zaglądac i pomagac jeśli będę umiał ;] Prosiłbym o pomoc w jednym zadaniu z testu maturalnego.

W trójkącie ABC którego |AB|=c=10 i wysokośc |CD|=h=6 wpisano prostokąt, którego jeden bok zawarty jest w AB. Wyraź pole tego prostokąta jako funkcję tego boku. Narysuj wykres tej funkcji i znajdź jej maksimum.

Narysowałem sobie to i oznaczyłem ale jakoś nie bardzo wiem jak w ogóle wyrazic pole tego prostokąta jako funkcję boku... Jedyne co zrobiłem, to obliczyłem pole tego trójkąta, i tym samym dziedzinę tej funkcji, no bo pole prostokąta musi byc mniejsze od pola trójkąta, czyli mniejsze od 30. Próbowałem też wpisac okrąg w trójkąt ale to mi nic nie pomogło. Żadne zależności z karty wzorów nie pomogły, ale może czegoś nie zauważyłem. Z góry dzięki za pomoc.

[Qń]

Oznaczmy długość boku prostokąta zawartego w \(\displaystyle{ AB}\) przez \(\displaystyle{ x}\), a długość drugiego boku prostokąta przez \(\displaystyle{ h}\). Wtedy:
- pole prostokąta wynosi \(\displaystyle{ hx}\)
- łączne pole trójkątów "na lewo" i "na prawo" od prostokąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(10-x)h}\)
- pole trójkąta "nad" prostokątem wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x(6-h)}\)
- łączne pole wszystkich trzech powyższych kawałków to pole całego trójkąta, czyli \(\displaystyle{ 30}\).

Daje nam to równanie:
\(\displaystyle{ hx+\frac{1}{2}(10-x)h+\frac{1}{2}x(6-h)=30}\)
skąd:
\(\displaystyle{ h=6-\frac{3}{5}x}\)

Tak więc rzeczona zależność pola od boku prostokąta to:
\(\displaystyle{ S(x)= x\cdot \left( 6-\frac{3}{5}x\right)}\)

Q.