gdzie jest błąd

[lesniewicz]

jest grupa 3ech kobiet ze średnią wieku 26 lat i ochyleniem standardowym 1,4,
natomiast 4osobowa grupa mężczyzn ma średnią wieku 33 i odchylenie standardowe 4,6
trzeba policzyć średni wiek i odchylenie standardowe dla wszystkich osób i wynik zaokrąglić do jednego miejsca po przecinku
będe pisał topornie każdy etap, liczę, że ktoś doszuka się błędu, bo ja tu nijak nie widzę
średnia arytmetyczna wg odpowiedzi wynosi 30,0 i taki też mi wynik wyszedł

\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{3 \cdot 26+4 \cdot 33}{7}= \frac{79+132}{7}=30}\)

teraz odchylenie standardowe dla wszystkich osób, ktoś napisał już tu kiedyś świetny wzór na wariancję ogólną, jako sumę średniej arytmetycznej wariancji poszczególnych grup oraz wariancję średnich arytmetycznych poszczególnych grup, czyli tak to wg mnie wygląda
\(\displaystyle{ s^{2}= \frac{ (1,4)^{2}+(4,6) ^{2}}{2}+ \frac{(26-30) ^{2}+(33-30) ^{2}}{2}= \frac{1,96+21,16}{2}+ \frac{16+9}{2}= \frac{23,12}{2}+ \frac{25}{2}=11,56+12,5=24,06}\)
teraz wystarczy to dać pod pierwiastek i mam odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ s= \sqrt{24,06}=4,9050993...}\) co po zaokrągleniu do jednego miejsca po przecinku daje \(\displaystyle{ 4,9}\), a w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ 5,0}\)
nie chcę tłumaczyć sobie, że to w odpowiedzi jest błąd, no ale może rzeczywiście...
więc gdzie jest błąd?

[mat_61]

Błąd jest w zastosowaniu wzoru. Ten wariant wzoru (uproszczony) który napisałeś jest prawdziwy dla równolicznych grup (i tylko wtedy jest średnia arytmetyczna). A w Twoim zadaniu liczebność grup jest różna (i wtedy musi być średnia ważona).

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ s^{2}= \frac{[1,4^{2}+(26-30)^2] \cdot 3+[4,6^{2}+(33-30)^{2}] \cdot 4}{3+4} = ...}\)

ewentualnie tak (to samo tylko inny zapis - w wariancie jak u Ciebie):

\(\displaystyle{ s^{2}= \frac{ (1,4)^{2} \cdot 3+(4,6) ^{2} \cdot 4}{3+4}+ \frac{(26-30) ^{2} \cdot 3+(33-30) ^{2} \cdot 4}{3+4}= ...}\)

A ogólny wzór masz np. tutaj: