Witam,
Tak się zamotałem, że już sam nie wiem. Pytanie banalne, czy funkcja (np. koło) we współrzędnych biegunowych ma swoje maximum i minimum? Jeśli jesteśmy we współrzędnych biegunowych to mamy współrzędną kątową i długościową (promyk). Dla koła, promień jest stały, kąt się zmienia, ale jest on parametrem funkcji (jakby zmienną x w kartezjańskim układzie współrzędnych). Czyli niby jest to funkcja stała, czyli nie ma min/max.Dobrze?
A co jeśli mam np. elipse (albo dowolną krzywą) we współrzędnych biegunowych? Tutaj powinno wystąpić jakieś max/min, ale jako to obliczyć i czy w ogóle istnieje takie pojęcie jak max/min funkcji biegunowej.
Pozdrawiam, Krzysiek
Czy istnieje min/max funkcji we wspólrzędych biegunowych?
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Czy istnieje min/max funkcji we wspólrzędych biegunowych?
Ale w jakim sensie koło jest funkcją? A w ogóle, to chyba masz na myśli okrąg? Okrąg jest wykresem \(\displaystyle{ r=r_0}\), a ta funkcja (tzn. \(\displaystyle{ r}\) jako funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest stała, więc nie ma maksimów. O to Ci chodzi?
Ogólnie - sprecyzuj, proszę, co masz na myśli, bo krzywa to nie funkcja.
Ogólnie - sprecyzuj, proszę, co masz na myśli, bo krzywa to nie funkcja.
Czy istnieje min/max funkcji we wspólrzędych biegunowych?
Tak powinno być okrąg, z rozpędu wpisałem koło.
Popatrz proszę na r-nie koła, ale we współrzędnych biegunowych:
o środku w punkcie:
Gdy środek okręgu znajduje się w środku ukł. współrzędnych \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \phi}\) wówczas:
\(\displaystyle{ r=a}\),
gdzie a to (oczywista sprawa) promień.
Tak więc dla wsp. biegunowych funkcja okręgu to jest stała. Z analizy matematycznej, do zbadania min/max funkcji liczy się pochodną. Pochodna ze stałej jest zero, czyli nie ma extremum WE WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNOWYCH, bo o nich rozmawiamy.
Za to we współrzędnych kartezjańskich nie ma takiej funkcji, co najwyżej mamy f. sklejaną z górnej i dolnej części okręgu. Tutaj już są ekstrema funkcji. Ale parząc z perspektywy układy współrzędnych biegunowych extremów okrąg NIE MA.
Stąd moje pytanie, czy takie pojęcie jak extremum funkcji w układzie współrzędnych biegunowych istnieje.
Teraz jest jakaś krzywa we współrzędnych biegunowych (krzywa to funkcja - nie chcę czepiać się formalizmów w tym przypadku, wiadomo że istnieje całą masa krzywych, ale mnie się rozchodzi o intuicyjny przypadek). Tą krzywą/funkcję mam przestawioną w postaci \(\displaystyle{ r( /phi)=....}\). Tutaj już pojawia się problem, gdyż pochodna takiej funkcji już istnieje (oczywiście rozmawiamy o takiej krzywiej, dla której pochodna istnieje po \(\displaystyle{ d /phi}\), że jest ciągła, klasy pierwszej itp).
Być może trudno sobie się przestawić z x'sa i y'ka na \(\displaystyle{ r, /phi\(\displaystyle{ , ale proszę użyć trochę wyobraźni.
Pozdrawiam, Krzysiek}\)}\)
Popatrz proszę na r-nie koła, ale we współrzędnych biegunowych:
o środku w punkcie:
Gdy środek okręgu znajduje się w środku ukł. współrzędnych \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \phi}\) wówczas:
\(\displaystyle{ r=a}\),
gdzie a to (oczywista sprawa) promień.
Tak więc dla wsp. biegunowych funkcja okręgu to jest stała. Z analizy matematycznej, do zbadania min/max funkcji liczy się pochodną. Pochodna ze stałej jest zero, czyli nie ma extremum WE WSPÓŁRZĘDNYCH BIEGUNOWYCH, bo o nich rozmawiamy.
Za to we współrzędnych kartezjańskich nie ma takiej funkcji, co najwyżej mamy f. sklejaną z górnej i dolnej części okręgu. Tutaj już są ekstrema funkcji. Ale parząc z perspektywy układy współrzędnych biegunowych extremów okrąg NIE MA.
Stąd moje pytanie, czy takie pojęcie jak extremum funkcji w układzie współrzędnych biegunowych istnieje.
Teraz jest jakaś krzywa we współrzędnych biegunowych (krzywa to funkcja - nie chcę czepiać się formalizmów w tym przypadku, wiadomo że istnieje całą masa krzywych, ale mnie się rozchodzi o intuicyjny przypadek). Tą krzywą/funkcję mam przestawioną w postaci \(\displaystyle{ r( /phi)=....}\). Tutaj już pojawia się problem, gdyż pochodna takiej funkcji już istnieje (oczywiście rozmawiamy o takiej krzywiej, dla której pochodna istnieje po \(\displaystyle{ d /phi}\), że jest ciągła, klasy pierwszej itp).
Być może trudno sobie się przestawić z x'sa i y'ka na \(\displaystyle{ r, /phi\(\displaystyle{ , ale proszę użyć trochę wyobraźni.
Pozdrawiam, Krzysiek}\)}\)
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Czy istnieje min/max funkcji we wspólrzędych biegunowych?
Proszę, daruj sobie teksty w stylu ostatniego akapitu, zwłaszcza, że są kompletnie nietrafione. Piszesz niejasno i nie do końca po polsku ("rozchodzi się"), więc nie dziw się, że trudno dojść, o co Ci chodzi.
Oczywiście, funkcja \(\displaystyle{ r( \phi )}\) (BTW phi, nie /phi), jak każda inna funkcja, może mieć ekstrema. I w nich \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}r }{ \mbox{d}\phi }}\), przy odpowiednio przyzwoitej funkcji, będzie zerem.
To, że okrąg, czy jego połówka ma inne maksima jako funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\), a inne jako \(\displaystyle{ r( \phi )}\) to normalne - bo to jest zupełnie inna funkcja. I w innych miejscach krzywej masz ekstremalny promień, w innych ekstremalną współrzędną y.
A na przykład \(\displaystyle{ y=y_0}\) jako \(\displaystyle{ y(x)}\) nie ma ekstremów, a ta sama prosta, rozważana we współrzędnych biegunowych, jako \(\displaystyle{ r( \phi )}\), będzie miała minimum.
Również pozdrawiam.
Oczywiście, funkcja \(\displaystyle{ r( \phi )}\) (BTW phi, nie /phi), jak każda inna funkcja, może mieć ekstrema. I w nich \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}r }{ \mbox{d}\phi }}\), przy odpowiednio przyzwoitej funkcji, będzie zerem.
To, że okrąg, czy jego połówka ma inne maksima jako funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\), a inne jako \(\displaystyle{ r( \phi )}\) to normalne - bo to jest zupełnie inna funkcja. I w innych miejscach krzywej masz ekstremalny promień, w innych ekstremalną współrzędną y.
A na przykład \(\displaystyle{ y=y_0}\) jako \(\displaystyle{ y(x)}\) nie ma ekstremów, a ta sama prosta, rozważana we współrzędnych biegunowych, jako \(\displaystyle{ r( \phi )}\), będzie miała minimum.
Również pozdrawiam.