Odgadywanie wyrazów ciągu liczbowego - wzór na An

[music]

Witam.

Dane są początkowe wyrazy nieskończonego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{0}}\) = 1
\(\displaystyle{ a_{1}}\) = 15
\(\displaystyle{ a_{2}}\) = 150
\(\displaystyle{ a_{3}}\) = 1250
\(\displaystyle{ a_{4}}\) = 9375
\(\displaystyle{ a_{5}}\) = 65625
\(\displaystyle{ a_{6}}\) = 437500

Znajdź wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\). (...)

Zauważyłem pewną zależność,
\(\displaystyle{ a_{1}}\) - \(\displaystyle{ a_{0}}\) = \(\displaystyle{ b_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}}\) - \(\displaystyle{ a_{1}}\) = \(\displaystyle{ b_{1}}\)

\(\displaystyle{ a_{2}}\) = \(\displaystyle{ b_{1}}\) + \(\displaystyle{ b_{0}}\) + \(\displaystyle{ a_{0}}\)

tj.

\(\displaystyle{ \sum_{b=1}^{x} b}\) + \(\displaystyle{ a_{0}}\) = \(\displaystyle{ a_{x}}\)

...ale niestety nie wiem co dalej z tym zrobić. Jakaś sugestia ??

[Artist]

Zauważ, że wszystie są podzielne przez \(\displaystyle{ 5^{n}}\)
I pozostanie ciąg:
1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6,1+2+3+4+5+6+7......
Kombinuj dalej.

[BettyBoo]

Po pierwsze zauważmy, że to na pewno nie jest ciąg arytmetyczny ani geometryczny.
Można więc próbować zauważyć zależność między kolejnymi wyrazami - ponieważ rośnie to dość szybko, to poszukamy zależności iloczynowej (o ile istnieje) - czyli sprawdzamy czy da się jakoś sensownie określić ciąg \(\displaystyle{ B=(b_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ a_0b_0=a_1,\ a_1b_1=a_2, ...., a_nb_n=a_{n+1},...}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ a_{1} = 15=15 a_0,\quad a_{2} = 150=10a_1,\quad a_{3} = 1250=\frac{25}{3}a_2,\quad
a_{4} = 9375= \frac{15}{2}a_3,\quad a_{5} = 65625=7a_4,\quad a_{6} = 437500=\frac{20}{3}a_5}\)

No i z tego już widać, jak się zachowuje ciąg B - zauważ, że można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{15}{1},\frac{20}{2},\frac{25}{3},\frac{30}{4},\frac{35}{5},\frac{40}{6},...}\)

a stąd już łatwo napisać szukany wzór.

Pamiętaj wszakże, że kilka początkowych wyrazów ciągu nie pozwala na jednoznaczne określenie wzoru na ten ciąg, więc powyższy wynik jest tylko jednym z wielu możliwych.

Pozdrawiam.

[music]

otrzymałem końcowy wzór:

\(\displaystyle{ a_{n}}\) = \(\displaystyle{ b_{0}}\) * \(\displaystyle{ b_{1}}\) * ... * \(\displaystyle{ b_{n-1}}\)

sprawdziłem, policzyłem łopatologicznie i wszystko się zgadza.

ale czy mogę to jakoś prościej zapisać ?? optymalniej.
czy pozostaje mi `tylko` skracanie mnożnych / mnożników...?
wtedy byłoby \(\displaystyle{ \frac{15 * 20 * 25 *30...}{1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6...}}\)
i skracałbym od `trójki` w mianowniku otrzymując \(\displaystyle{ \frac{5^{18} * 105 * 110} {2}}\)
(wiadomo też, że \(\displaystyle{ b_{n}}\) = \(\displaystyle{ \frac{5n + 15}{n + 1}}\) )

[BettyBoo]

No to trzeba uprościć teraz - tylko trzeba tak upraszczać, żeby dało się ten sposób zastosować ogólnie do każdego wyrazu, czyli dla każdego n. Z każdego czynnika z licznika możemy wyłączyć 5 i wtedy w liczniku zostaje \(\displaystyle{ 5^n\cdot 3\cdot 4\cdots n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}\) podczas gdy w mianowniku mamy \(\displaystyle{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n}\). Po uproszczeniu daje to \(\displaystyle{ \frac{5^n(n+1)(n+2)}{2}}\) i jest to ogólny wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_n}\).

Pozdrawiam.

[music]

wow. dzięki

[Thorn123]

Witam mógł by ktoś wyjaśnić dlaczego było w ostatnim poście wyciągane \(\displaystyle{ 5^n}\) a nie samo \(\displaystyle{ 5}\) (w poprzednim poście nie ma żadnego N we wzorze. )

[BettyBoo]

Jak pisałam w poście wyżej:

Z każdego czynnika z licznika możemy wyłączyć 5

A tych czynników jest \(\displaystyle{ n}\), więc ostatecznie z licznika wyłącza się \(\displaystyle{ 5^n}\).

Pozdrawiam.