Czy jest jakiś wzór na obliczenie tej sumy liczb":
1+2+3+4…..50=
Każda z tych liczb jest podniesiona do potęgi 4
Potęgi
-
Grzegorz Getka
- Użytkownik
- Posty: 224
- Rejestracja: 19 mar 2006, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WEiTI PW
- Pomógł: 4 razy
Potęgi
Zwykła suma ciągu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ \Large S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n}\)
Edit:
Nie zauważyłem, że każda liczba jest podniesiona do 4 potęgi, zaraz coś wymyślę...
\(\displaystyle{ \Large S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n}\)
Edit:
Nie zauważyłem, że każda liczba jest podniesiona do 4 potęgi, zaraz coś wymyślę...
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Potęgi
\(\displaystyle{ S_n = 1^4+2^4+\ldots + n^4 =an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f}\), gdzie
\(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) to rozwiazania ukladu rownan:
\(\displaystyle{ \{a+b+c+d+e+f=1\\2^5a+2^4b+2^3c+2^2d+2e+f=17\\3^5a+3^4b+3^3c+3^2d+3e+f=98\\4^5a+4^4b+4^3c+4^2d+4e+f=354\\5^5a+5^4b+5^3c+5^2d+5e+f=979\\6^5a+6^4b+6^3c+6^2d+6e+f=2275}\).
\(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) to rozwiazania ukladu rownan:
\(\displaystyle{ \{a+b+c+d+e+f=1\\2^5a+2^4b+2^3c+2^2d+2e+f=17\\3^5a+3^4b+3^3c+3^2d+3e+f=98\\4^5a+4^4b+4^3c+4^2d+4e+f=354\\5^5a+5^4b+5^3c+5^2d+5e+f=979\\6^5a+6^4b+6^3c+6^2d+6e+f=2275}\).
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Potęgi
Albo tak:
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{2}=1^{2}+2\cdot 1+1\\(2+1)^{2}=2^{2}+2\cdot 2+1\\(3+1)^{2}=3^{2}+2\cdot 3+1\\\vdots\\(n+1)^{2}=n^{2}+2\cdot n+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}=1^{2}+2(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{2}+2n+1=1+2S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{3}=1^{3}+3\cdot 1^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{3}=2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 2+1\\(3+1)^{3}=3^{3}+3\cdot 3^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 3+1\\\vdots\\(n+1)^{3}=n^{3}+3\cdot n^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot n+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{3}=1^{3}+3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}+3n+1=1+3S_{n^{2}}+3S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}+2n=3S_{n^{2}}+3 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{2}}=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{4}=1^{4}+4\cdot 1^{3}\cdot 1+6\cdot 1^{2}\cdot 1+4\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{4}=2^{4}+4\cdot 2^{3}\cdot 1+6\cdot 2^{2}\cdot 1+4\cdot 2\cdot 1+1\\(3+1)^{4}=3^{4}+4\cdot 3^{3}\cdot 1+6\cdot 3^{2}\cdot 1+4\cdot 3\cdot 1+1\\\vdots\\(n+1)^{4}=n^{4}+4\cdot n^{3}\cdot 1+6\cdot n^{2}\cdot 1+4\cdot n\cdot 1+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{4}=1^{4}+4(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})+6(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+4(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1=1+4S_{n^{3}}+6S_{n^{2}}+4S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+3n=4S_{n^{3}}+6 \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}+4 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{3}}=\frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{5}=1^{5}+5\cdot 1^{4}\cdot 1+10\cdot 1^{3}\cdot 1+10\cdot 1^{2}\cdot 1+5\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{5}=2^{5}+5\cdot 2^{4}\cdot 1+10\cdot 2^{3}\cdot 1+10\cdot 2^{2}\cdot 1+5\cdot 2\cdot 1+1\\(3+1)^{5}=3^{5}+5\cdot 3^{4}\cdot 1+10\cdot 3^{3}\cdot 1+10\cdot 3^{2}\cdot 1+5\cdot 3\cdot 1+1\\\vdots\\(n+1)^{5}=n^{5}+5\cdot n^{4}\cdot 1+10\cdot n^{3}\cdot 1+10\cdot n^{2}\cdot 1+5\cdot n\cdot 1+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{5}=1^{5}+5(1^{4}+2^{4}+...+n^{4})+10(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})+10(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+5(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1=1+5S_{n^{4}}+10S_{n^{3}}+10S_{n^{2}}+5S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+4n=5S_{n^{4}}+10 \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}+10 \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}+5 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{4}}=\frac{6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{2}=1^{2}+2\cdot 1+1\\(2+1)^{2}=2^{2}+2\cdot 2+1\\(3+1)^{2}=3^{2}+2\cdot 3+1\\\vdots\\(n+1)^{2}=n^{2}+2\cdot n+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}=1^{2}+2(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{2}+2n+1=1+2S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{3}=1^{3}+3\cdot 1^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{3}=2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 2+1\\(3+1)^{3}=3^{3}+3\cdot 3^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 3+1\\\vdots\\(n+1)^{3}=n^{3}+3\cdot n^{2}\cdot 1+3\cdot 1\cdot n+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{3}=1^{3}+3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}+3n+1=1+3S_{n^{2}}+3S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+3n^{2}+2n=3S_{n^{2}}+3 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{2}}=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{4}=1^{4}+4\cdot 1^{3}\cdot 1+6\cdot 1^{2}\cdot 1+4\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{4}=2^{4}+4\cdot 2^{3}\cdot 1+6\cdot 2^{2}\cdot 1+4\cdot 2\cdot 1+1\\(3+1)^{4}=3^{4}+4\cdot 3^{3}\cdot 1+6\cdot 3^{2}\cdot 1+4\cdot 3\cdot 1+1\\\vdots\\(n+1)^{4}=n^{4}+4\cdot n^{3}\cdot 1+6\cdot n^{2}\cdot 1+4\cdot n\cdot 1+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{4}=1^{4}+4(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})+6(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+4(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1=1+4S_{n^{3}}+6S_{n^{2}}+4S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+3n=4S_{n^{3}}+6 \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}+4 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{3}}=\frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}\)
+\(\displaystyle{ \left{\begin{array}(1+1)^{5}=1^{5}+5\cdot 1^{4}\cdot 1+10\cdot 1^{3}\cdot 1+10\cdot 1^{2}\cdot 1+5\cdot 1\cdot 1+1\\(2+1)^{5}=2^{5}+5\cdot 2^{4}\cdot 1+10\cdot 2^{3}\cdot 1+10\cdot 2^{2}\cdot 1+5\cdot 2\cdot 1+1\\(3+1)^{5}=3^{5}+5\cdot 3^{4}\cdot 1+10\cdot 3^{3}\cdot 1+10\cdot 3^{2}\cdot 1+5\cdot 3\cdot 1+1\\\vdots\\(n+1)^{5}=n^{5}+5\cdot n^{4}\cdot 1+10\cdot n^{3}\cdot 1+10\cdot n^{2}\cdot 1+5\cdot n\cdot 1+1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{5}=1^{5}+5(1^{4}+2^{4}+...+n^{4})+10(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})+10(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+5(1+2+...+n)+n}\)
\(\displaystyle{ n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1=1+5S_{n^{4}}+10S_{n^{3}}+10S_{n^{2}}+5S_{n}+n}\)
\(\displaystyle{ n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+4n=5S_{n^{4}}+10 \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}+10 \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}+5 \frac{n^{2}+n}{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{n^{4}}=\frac{6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\)
Ostatnio zmieniony 18 maja 2006, o 15:28 przez jasny, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Potęgi
jasny pokazał Ci, jak rekurencyjnie dość do tego, czego chcesz.
Ogólnie \(\displaystyle{ 1^4 +2^4+3^4+...+n^4 =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}\). Czyli teraz podstawiasz sobie za n=50 i otrzymujesz to, co chcesz
Ogólnie \(\displaystyle{ 1^4 +2^4+3^4+...+n^4 =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}\). Czyli teraz podstawiasz sobie za n=50 i otrzymujesz to, co chcesz
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Potęgi
Po prostu to jest bardzo ciekawy sposób na znajdowanie takich wzorów. Tworzysz kolejne układy równań, dodajesz je stronami, skracasz co się da, i wychodzą jak wyżej sumy kolejnych potęg liczb naturalnych.patusia pisze:jasny, DZIĘKI ALE I TAK Z TEGO NIC NIE WIEM
Potęgi
Ja mam pytanie odnośnie tego sposobu rekurencyjnego, a właściwie do dodawania stronami, mógłbym prosić o dokładniejsze wyjaśnienie jak dodawać taki układ stronami, bo nie wiem skąd się wziął taki wynik.
