Na rysunku pokazano pręt miedziany poruszający się z prędkością v = 5 m/s
równoległą do długiego, prostego drutu przewodzącego prąd i = 100A. Obliczyć SEM
zaindukowaną w pręcie. Przyjąć a = 1 cm, b = 20 cm.
1) Prawo przepływu prądu Ampere'a
Masz prąd i, z którego możesz obliczyć pole \(\displaystyle{ \vec{B}}\) a potem strumień pola \(\displaystyle{ \vec{B}}\).
2)Na postawie prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya obliczysz siłę elektromotoryczną. \(\displaystyle{ e=- \frac{d \Phi _{B}(x,t)}{dt}=e_{r}+e_{t}}\)
Zastanów się jaka jest pochodna zwyczajna z funkcji dwóch zmiennych.
Potem zauważ, że: \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=v}\) - prędkość
dalej nie wiem jak to poprawnie rozpisać. Jestem samoukiem w rachunku różniczkowym i w tym miejscu nie wiem czy mogę (albo dlaczego nie mogę) tak to rozpisać:
\(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{d(\frac{\mu I}{2\pi x}\cdot xl)}{dt}}\)
gdzie \(\displaystyle{ l}\) to przemieszczenie drutu poruszającego się a \(\displaystyle{ x}\). Wtedy by się \(\displaystyle{ x}\) skróciły i byłoby bez sensu, bo wyindukowane napięcie nie zależałoby od długości pręta i jego odległości od drugiego pręta.
Proszę o pomoc i wyjaśnienie dlaczego tak a nie inaczej. TIA.
Moim zdaniem tutaj powinno być a, ewentualnie b. - droga całkowania to moim zdaniem okrąg o środku w pręcie i promieniu a, ewentualnie b.
Tutaj masz rozpisane prawo indukcji. \(\displaystyle{ e=- \frac{d \Phi _{B}(x,t)}{dt}=- \frac{\partial \Phi}{\partial x} \frac{dx}{dt}-\frac{\partial \Phi}{\partial t} =e_{r}+e_{t}}\)
Jak widać składowa transformacji jest równa zeru, bo prąd jest stały. Więc: \(\displaystyle{ e=- \frac{\partial \Phi}{\partial x} \frac{dx}{dt}=- \frac{\partial \Phi (x)}{\partial x} \cdot v}\)
x - oś prostopadła do przewodnika w którym płynie prąd, nasz pręt nie zmienia swojego położenia względem tej osi.
Jak tylko spojrzałem na zadanie to wiedziałem, że wyjdzie zero.
Jeżeli odległości a i b się nie zmieniają to na pręt działa stałe pole magnetyczne a jak wiadomo pochodna funkcji stałej to zero. Na jeden i drugi koniec pręta przez cały czas działa pole magnetyczne o tej samej wartości: \(\displaystyle{ e=0}\)
Tak właściwie to należałoby to rozważać we współrzędnych biegunowych albo walcowych, to wtedy byłoby widać, że położenie pręta nie jest funkcją promienia.
To zadanie jest z Hallidaya, cz. 2, str. 260.
Odpowiedź jest \(\displaystyle{ 3\cdot 10^{-4}V}\).
Poza tym nie do końca rozumiem która z tych skłądowych: \(\displaystyle{ e=- \frac{d \Phi _{B}(x,t)}{dt}=- \frac{\partial \Phi}{\partial x} \frac{dx}{dt}-\frac{\partial \Phi}{\partial t} =e_{r}+e_{t}}\) jest zero i dlaczego.
Prąd jest stały ale pręt "zakreśla" jakieś pole \(\displaystyle{ d\Phi=BdS}\). Tylko, że \(\displaystyle{ B}\) ZALEŻY od odległości od pręta więc nie wiem czy napisany przeze mnie wzór jest OK.
Jeszcze jak napisałeś, że x to oś prostopadła do przewodnika (...) to już kompletnie zgłupiałem, bo napisałeś że \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=v}\) skąd wynikałoby, że przez \(\displaystyle{ v}\) oznaczyłeś prędkość pręta poruszającego się w pionie a więc \(\displaystyle{ v=0}\).
Poprawnie powinno być: \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=v_{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=v_{y}}\) itd.
\(\displaystyle{ e_{t}}\) - składowa transformacji, jak nazwa wskazuje używana w transformatorach a jak wiadomo transformatory nie działają dla prądów/napięć stałych. Więc: \(\displaystyle{ e_{t}=0}\)
Pełna wersja składowej rotacji (a więc związanej z ruchem mechanicznym) dla układu prostokątnego lub inaczej kartezjańskiego:
Ponieważ prędkość jest tylko w jednym kierunku to bierzemy tylko jedną składową, trochę zakręciłem przez to. Wybierz sobie jedną zmienną i coś kombinuj.
\(\displaystyle{ \Phi = \iint\limits_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}}\)
Policz strumień dla promienia a i b
Nie wiem jak rozwiązać to zadanie, bo moim zdaniem powinno wyjść zero, ale:
- pole magnetyczne i strumień pola magnetycznego są funkcjami promienia (są stałe w czasie, i dla ruchu równoległego z przewodnikiem)
- odległość prętu od przewodnika jest stała (a i b)
- \(\displaystyle{ B= \frac{\mu I}{2 \pi r}}\) a to oznacza: \(\displaystyle{ B \sim \frac{1}{r}}\)
To, że na jeden koniec pręta i na drugi odziaływuje pole magnetyczne o innych wartościach nie może spowodować siły elektromotorycznej. Do tego potrzebna jest zmiana strumienia, a można to uzyskać poprzez ruch do pręta i od pręta, bo przy ruchu równoległym do przewodnika nic się nie zaindukuje, bo cały czas jeden i drugi koniec pręta znajduje się w stałym polu magnetycznym.
Skoro odpowiedź jest jaka jest to musisz udowodnić tą zmianę strumienia.
Sugestia: Jeżeli ta siła elektromotoryczna mogłaby się wziąć z tego, że B=B(r) (jest funkcją promienia) to radziłbym użyć współrzędnych walcowych. Tzn: \(\displaystyle{ f(r, \theta ,z)}\) czyli kąt,promień, oś równoległa do przewodnika. Wtedy będziesz miał B(r) zamiast np: B=B(y,z) [jeżeli przyjąć x za oś równoległą do przewodnika]
Moim zdaniem powiedziałem wszystko co wiem na ten temat. Mogę dodać, że nie umiem całkować po dl i po dS gdy mamy doczynienia ze zmiennym B i nie można go wyłączyć przed znak całki.
