Figury geometryczne (pola, obwody, miary kątów itp.)

[agis]

Będę miała sprawdzian w poniedziałek z zadań podobnych do tych które podam poniżej, a kompletnie nie potrafię ich rozwiązać. Chciałabym Was prosić o pomoc w ich rozwiązaniu (będę starała się zrozumieć sposób rozwiązywania tych zadań). Bardzo Was proszę o podawanie rysunków w miarę możliwości, bym mogła zrozumieć zadania. Matematyka nie jest moją mocną stroną .

Zestaw I

Zad. 12
Oblicz długość boku sześciokąta foremnego, który ma takie samo pole jak kwadrat o boku \(\displaystyle{ 5}\).
(powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{5}{3} \sqrt[4]{12}}\))

Zad. 13
Jaki jest stosunek długości okręgu do długości promienia tego okręgu?

Zad. 14
Jakie pole ma koło, którego obwód wynosi 1m? Wynik podaj z dokładnością do \(\displaystyle{ 1cm^{2}}\).
(powinno wyjść ok. \(\displaystyle{ 796cm^{2}}\) )

Zad. 15
O ile mniejsze jest pole kwadratu o wierzchołkach leżących na okręgu o promieniu 10 od pola koła o takim promieniu?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ 100\pi - 200}\))

Zad. 16
Narysowany okrąg ma promień długości \(\displaystyle{ 2cm}\). Jaki obwód ma trójkąt \(\displaystyle{ ABO}\)?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ 6cm}\))


Zad. 17
Ile jest okręgów o środku na prostej \(\displaystyle{ a}\) stycznych jednocześnie do obu narysowanych okręgów? Podaj długości ich promieni.
(powinno wyjść \(\displaystyle{ cztery: 3, 2, 2, 1}\))


Zad. 18
Ustal, ile punktów wspólnych ma okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 7}\) z okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ 12}\), jeśli odległość między środkami tych okręgów wynosi:
\(\displaystyle{ a) 4}\)
\(\displaystyle{ b) 5}\)
\(\displaystyle{ c) 7}\)
\(\displaystyle{ d) 15}\)
\(\displaystyle{ e) 20}\)
(powinno wyjść \(\displaystyle{ a)0, b)1, c)2, d)2, e)0}\))

Zestaw II

Zad. 1
Wysokość trójkąta równoramiennego (poprowadzona do podstawy) jest \(\displaystyle{ 5}\) razy krótsza od ramienia. Oblicz stosunek długości podstawy do długości ramienia trójkąta.
(powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ 4\sqrt{6} }{5}}\))

Zad. 2
Oblicz pole i obwód równoległoboku o bokach długości \(\displaystyle{ 5cm}\) i \(\displaystyle{ 6cm}\), jeśli kąt między tymi bokami ma miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\).
(powinno wyjść \(\displaystyle{ P= 15\sqrt{2}cm ^{2} \approx 21,2cm ^{2}}\) )

Zad. 3
Kojec dla dziecka ogranicza obszar w kształci sześciokąta foremnego o boku \(\displaystyle{ 65cm}\). Czy ten obszar ma powierzchnię większą od \(\displaystyle{ 1m^{2}}\)?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ Tak}\))

Zad. 4
Kąt wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Jaką długość ma łuk, na którym oparty jest ten kąt?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \pi r \alpha }{90 ^{o} }}\) )

Zad. 5
Pole koła jest o \(\displaystyle{ p \%}\) większe od pola wycinka tego koła wyznaczonego przez kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Zapisz wzór, który pozwala obliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), gdy dane jest \(\displaystyle{ p}\).
(powinno wyjść \(\displaystyle{ \alpha = \left( \frac{36000}{100+p} \right) ^{o}}\) )

Zad. 6
Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą kąt wielokąta foremnego na równe części. Jaką miarę ma kąt między sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z wierzchołka \(\displaystyle{ 10}\)-kąta foremnego?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ 18 ^{o}}\) )

Zestaw III

Zad. 1
Wierzchołki trapezu równoramiennego leżą na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 6}\). Odległość środka okręgu od jednej podstawy trapezu równa jest \(\displaystyle{ 2}\), a od drugiej \(\displaystyle{ 3}\). Oblicz pole tego trapezu.
(powinno wyjść \(\displaystyle{ 5 \left( 4\sqrt{2}+ 3\sqrt{3} \right)}\) lub \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}\) )

Zad. 2
Udowodnij, że suma długości przekątnych dowolnego czworokąta wypukłego jest mniejsza od obwodu tego czworokąta.

Zad. 3
Środek okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) leży na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R\left(r < R\right)}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na obu okręgach. Prosta styczna w punkcie \(\displaystyle{ P}\) do mniejszego okręgu przecina większy okrąg w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Jaką długość ma cięciwa \(\displaystyle{ PA}\)?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ \left|PA \right| = \sqrt{4R ^{2} - r ^{2} }}\) )

Zad. 4
Czy kąt między sąsiednimi przekątnymi wielokąta foremnego, wychodzącymi z jednego wierzchołka może mieć miarę \(\displaystyle{ 10 ^{o}}\)? Skorzystaj z własności podanej w zadaniu 6 w zestawie II.
(powinno wyjść Tak (w \(\displaystyle{ 18}\)-kącie) )

Zad. 5
Wycinek pewnego koła wyznaczony przez kąt środkowy \(\displaystyle{ \alpha}\) ma takie samo pole jak koło o trzy razy mniejszym promieniu. Jaka jest miara kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ 40 ^{o}}\) )

Zad. 6
Wierzchołki trójkąta prostokątnego leżą na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ 30 ^{o}}\). Jaki obwód ma ten trójkąt? Jaki procent pola koła o promieniu \(\displaystyle{ r}\) stanowi pole tego trójkąta?
(powinno wyjść \(\displaystyle{ Ob=3r+r \sqrt{3}}\) ; około \(\displaystyle{ 27,6 \%}\) )

[kasiaslajd]

Z1
zad. 12.
Pole szesciokata to suma szesciu pol trojkatow równobocznych o boku a.
\(\displaystyle{ 6 \frac{1}{2} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = 25 \\
a ^{2} = \frac{50}{3 \sqrt{3} } \\
a = \frac{5}{3} \sqrt{2 \sqrt{3} } = \frac{5}{3} \sqrt{12}}\)
Przykro mi, ale wiecej mi sie nie chce w TeX wklejac :-/

-- 27 mar 2010, o 18:51 --

Z1
Zad. 16.
Wierzchołek przy kącie 30o oznaczam „C”.
Kąt ACB jest wpisany, a kąt AOB środkowy i oparte są na tym samym łuku, zatem miara kąta AOB to dwie miary kąta ACB, czyli 60o.
Trójkąt AOB jest równoramienny, z podstawą AB, więc do podziału na kąty przy podstawie mamy 180o – 60o = 120o. Czyli każdy kąt trójkąta AOB ma miarę 60o i ten trójkąt jest równoboczny. Bok AOB ma długość 2cm, zatem Obwód = 3a = 3*2cm = 6cm.-- 27 mar 2010, o 19:06 --Z2
Zad. 6.
Przekątne dzielą kąt wielokąta foremnego na (n-2) równe części, gdzie n to ilość wierzchołków tego wielokąta. W książce masz wzór na liczbę przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka (n-3), ale narysuj np.: sześciokąt foremny i zobacz, że tych przekątnych jest 3, a kątów „małych” jest 4.
Suma miar kątów w n-kącie foremnym to: (n-2)*180. Dla dziesięciokąta mamy: (10-2)*180=1440. Jeden kąt w dziesięciokącie ma 144. To jest „duży” kąt, składający się z (n-2) czyli ośmiu „małych” kątów.
Zatem miara „małego” kąta wynosi 144/8=18.

Z3
Zad. 2.
Czworokąt ABCD, przekątne AC, BD – narysuj go sobie.
Z uwagi na czcionkę, nie ma oznaczeń długości odcinków, tylko same literki.
Z nierówności trójkąta, dla trójkątów utworzonych przez podział czworokąta przekątnymi, wiemy, że:
AC < AB + BC
AC < CD + AD
BD < BC + CD
BD < AD + AB
dodając stronami mamy:
2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD =>
=> 2 (AC + BD) < 2 (AB + BC + CD + AD)
dzieląc przez 2:
AC + BD < Obwodu

Z3
Zad. 3.
Jak dobrze zrobisz rysunek, to zobaczysz, że prosta styczna (pod kątem prostym do promienia) przecina duży okrąg tak, że dostajemy trójkąt o wierzchołkach w środku małego okręgu, w punkcie P i w punkcie A.
Promień małego okręgu oznaczamy "r", a dużego "R" z tym, że bok trójkąta to średnica (2R).
Nasz trójkąt jest prostokątny, zatem możemy użyć twierdzenia Pitagorasa i po przekształceniu wzoru dostaniemy wynik.

Z3
Zad. 4.
Przypomnijmy: Zad. 6. Zestaw II
Przekątne dzielą kąt wielokąta foremnego na (n-2) równe części, gdzie n to ilość wierzchołków tego wielokąta. Kątów między sąsiednimi przekątnymi wielokąta foremnego jest więc (n-2).
Suma miar kątów w n-kącie foremnym to: (n-2)*180.
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ \left( n-2 \right) *180 = n* \left(n-2 \right) *10}\)
Czyli słowami: suma miar wszystkich kątów w wielokącie foremnym równa się n miarom jednego kąta tego wielokąta.
Po przekształceniu wzoru: 180 = n*10 zatem n = 18.
Wniosek: jest to możliwe dla osiemnastokąta.

Z3
Zad. 6.
„Wierzchołki trójkąta prostokątnego leżą na okręgu o promieniu r.”
Zatem przeciwprostokątna trójkąta jest równa średnicy okręgu.
„Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 30 stopni.”
Zatem pozostałe miary to 60 stopni i 90 stopni.
Taki trójkąt poznajemy już w gimnazjum.
Naprzeciw kąta miary 30 leży najkrótszy bok, dwa razy krótszy od najdłuższego, czyli u nas mający długość promienia okręgu. Trzeci bok trójkąta ma długość \(\displaystyle{ r \sqrt{3}}\).
Jaki obwód ma ten trójkąt?
Wystarczy dodać trzy boki.
Jaki procent pola koła o promieniu r stanowi pole tego trójkąta?
Należy podzielić pole trójkąta przez pole koła, a wynik pomnożyć przez 100%.