Wysokości w trójkącie

[kamilinho1948]

Wysokości w dowolnym trójkącie wynoszą odpowiednio 2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) , \(\displaystyle{ \frac{8}{7}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) , \(\displaystyle{ \frac{9}{5}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\). Oblicz długość boków tego trójkąta jeśli obwód trójkąta wynosi 16 cm.

[JakimPL]

Najwygodniej skorzystać z tego, że pole tej figury jest stałe. Stąd wynikają równości (po wymnożeniu stron przez 2):

\(\displaystyle{ a _1 \cdot h_1 = a _2 \cdot h_2}\)
\(\displaystyle{ a _2 \cdot h_2 = a _3 \cdot h_3}\)
\(\displaystyle{ a _1 \cdot h_1 = a _3 \cdot h_3}\)

[kamilinho1948]

dalej nie bardzo rozumiem co i ajk

[JakimPL]

\(\displaystyle{ h_1 = 2 \sqrt{6}, \ h_2 = \frac{8}{7} \sqrt{6}, \ h_3 = \frac{9}{5} \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 = 16}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} a_3 \cdot h_3}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ a_1 \cdot h_1 = a_2 \cdot h_2}\)
\(\displaystyle{ a_1 \cdot 2 \sqrt{6} = a_2 \cdot \frac{8}{7} \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{4}{7} a_2}\)
\(\displaystyle{ a_2= \frac{7}{4} a_1}\)

Idąc tak dalej, sprowadzasz wszystko do \(\displaystyle{ a_1}\) i podstawiasz tu:

\(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 = 16}\)

i wyliczasz wartość \(\displaystyle{ a_1}\).

Liczby nie są przyjemne, więc nie zostawiam rachunki Tobie . Jest to chyba najbardziej szablonowe rozwiązanie do tego typu zadań.