KWadrat o boku a

[Mala Mi]

w kwadrat o danym boku a wpisujemy drugi kwadrat w ten sposób, że jego wierzchołki są środkami boków danego kwadratu. W drugi kwadrat wpisujemy w taki sam sposób kwadrat trzeci , i tak dalej. Wykaż, że ciąg obwodów kolejnych kwadratów jest ciągiem geometrycznym. Ciąg pól kolejnych kwadratów jest ciągiem geometrycznym.

[jasny]

Jeśli w kwadrat o boku a wpiszemy w ten sposób kwadrat, to będzie on miał bok \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\)Stosunek obwodów jest równy \(\displaystyle{ \frac{2a\sqrt{2}}{4a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), więc jest stały, czyli mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\). Podobnie z polami: stosunek pól kolejnych kwadratów też jest stały, wynosi \(\displaystyle{ \frac{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2}}\)