III Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH

[Zygmunt Freud]

Czy materializm? Jeśli nie ma innych nagród, to po co zabierać komuś indeks, skoro już jest się w finale OM? Zakładam oczywiście odniesienie sukcesu w konkursie...

[blost]

i tak materialista hehe zawsze mozesz zaproponowac sprzedaz tego indeksu
w sumie tez sie zastanawiam bo z OF mam graty za OM !

[micha?3141]

to może jakaś granica to rozpykania \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{1+2x}- \sqrt[7]{1+x} }{x}}\)

Rozpykasz ją bez l'Hospitala ?

[adiki]

na razie ją znalazłem w zbiorze

[Tomas_91]

Nie mam pojęcia czy dobrze, bo nigdy w ten sposób nie rozwiązywałem ale:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } = \frac{f ^{/}(x) }{g ^{/} (x)} =}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{ x\to0 } \frac{1}{3}(1+2x) ^{ -\frac{2}{3} }*2 - \frac{1}{7} (1+x) ^{- \frac{6}{7} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } ( \frac{14}{21}- \frac{3}{21} )= \frac{11}{21}}\)

Dobrze?

[Bartek1991]

Był może ktoś w zeszłym roku na finale? Jak ludzie byli ubrani bo w ogóle nie wiem co włożyć na siebie. Musi być garnitur?

[szymek12]

Na finał się normalnie ubierz, dopiero jak cię zaproszą na rozdanie indeksów, to pasuje garniak włożyć;)

[BabaJaga]

Pomoże ktoś z zadaniem z I etapu?
Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

[misq23]

hmm może wrzucę od siebie z dwa, dość ciekawe zadanka dla rozgrzewki przed niedzielą

Zadanie 1.
Obliczyć sumę nieskończonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ a+aq+aq^2+...}\) w którym:

\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to1 } \frac{cos \frac{ \pi }{2} x}{sin \frac{ \pi }{4}x - cos \frac{ \pi }{4}x }}\),

natomiast q jest pierwiastkiem równania

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2x}log9 + 2log2 = log (27 + 9 ^{- \frac{1}{x} } )}\).

Zadanie 2.
Grupę k obiektów kosmicznych obserwuje m stacji radiolokacyjnych. Każdy obiekt jest niezależnie od innych wykrywany przez stację radiolokacyjną z prawdopodobieństwem p. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
A - co najmniej jeden obiekt zostanie wykryty
B - nie każda stacja wykryje wszystkie obiekty
C - losowo wybrana stacja wykryje n obiektów (n \(\displaystyle{ \le}\) k)
D - wszystkie obiekty zostaną wykryte.

[nikasek11]

Zadanie 1

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to 1} \frac{cos \frac{ \pi }{2} x}{sin \frac{ \pi }{4}x-cos \frac{ \pi }{4}x }= \lim_{ x\to 1} \frac{cos \frac{ \pi }{2}x( sin \frac{ \pi }{4}x+cos \frac{ \pi }{4}x)}{sin^{2} \frac{ \pi }{4}x-cos^{2} \frac{ \pi }{4}x }=\lim_{ x\to 1} \frac{cos \frac{ \pi }{2}x( sin \frac{ \pi }{4}x+cos \frac{ \pi }{4}x)}{-cos \frac{ \pi }{2} x}= \lim_{ x\to 1}-( sin \frac{ \pi }{4}x+cos \frac{ \pi }{4}x)=-sin \frac{ \pi }{4}-cos \frac{ \pi }{4}=- \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}=- \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ a=- \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |q|<1}\)
\(\displaystyle{ |x|<1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2x} log9+2log2=log(27+9^{- \frac{1}{x} })}\)

\(\displaystyle{ 9^{ \frac{x-1}{2x} }*4=27+9 ^{- \frac{1}{x} }}\)
\(\displaystyle{ 9^{ \frac{-1}{2x} }*9^{ \frac{1}{2} }*4=27+9 ^{- \frac{1}{x} }}\)
\(\displaystyle{ t=9^{- \frac{1}{2x} }}\) , \(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ 12t=27+t^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-12t+27=0}\)
\(\displaystyle{ (t-3)(t-9)=0}\)
\(\displaystyle{ t=3 \vee t=9}\)
\(\displaystyle{ x=-1 (sprzecznosc) \vee x=- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a=- \sqrt{2} \wedge q=- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{a}{1-q}= \frac{- \sqrt{2} }{ \frac{3}{2} } =- \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)

Dobrze? Mogłam się gdzieś machnąć w obliczeniach

[misq23]

Nie mam niestety tego zbiorku obecnie przy sobie, ale pierwsza część wyszła tak jak i mi, a w drugiej części widzę swój błąd na końcu zadka także wnioskuję, że rozwiązanie dobre

A co do drugiego to mi wyszły głupoty :/ Ma ktoś pomysł ?

A tak w ogóle, jak samopoczucia przed finałem ?

[nikasek11]

Ja mam fajne zadanko

Rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ 1+log _{2}cos(2 \pi x)+log _{2} ^{2}cos(2 \pi x)+ ... \le \frac{1}{2} \lim_{t \to 4} \frac{ \sqrt{1+2t} - 3 }{ \sqrt{t} - 2 }}\)


dla \(\displaystyle{ x \in}\)\(\displaystyle{ (0; \frac{9}{8} ]}\)


Może zróbmy tak, że jak ktoś rozwiąże jakieś zadanie to może dodać następne?

[blost]

\(\displaystyle{ Nika}\) jestes pewna ze dobrze przepisalas ? tam nie powinien byc w cosinusie jakis jeszcze dodatkowy wyraz ?-- 26 marca 2010, 23:56 --w kazdym razie prawa strone chyba najlatwiej z hospitala zrobic. z tego co widze wychodzi ze granica jest rowna 4/3 czyli prawa strona rowna jest 2/3
z lewej strony trzeba zrobic sume ciagu geometrycznego zapewne... nie wiem Dominika musisz dopisac )

[nikasek11]

Już poprawione, sorki

[misq23]

Mam być może banalne pytanie, ale...
jak obliczyć pochodną tej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[3]{1+mx}-1}\)
albo
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[2]{x ^{2}+1 } - \sqrt[2]{x+1 }}\)