postać ogólna i postać kanoniczna trójmiany kwadratowe

[mat1989]

1.Następujące trójmiany zapisz w postaci kanonicznej:
a)\(\displaystyle{ y=x^2+5x+4}\)
b)\(\displaystyle{ y=-3x^2+12x+20}\)
c)\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2-\sqrt{2}x-\sqrt{3}}\)
2.Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale:
a)\(\displaystyle{ f(x)=x^2-6x+4,\in }\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=x^2-4x-2, x\in}\)
c)\(\displaystyle{ f(x)=x-x^2, x\in}\)

[SzyszeK]

2.Zrobie jeden przyklad, reszta analogicznie:
a)\(\displaystyle{ f(x)=x^2-6x+4,\in }\)

Liczymy wartosc na krancach przedzialu:

\(\displaystyle{ f(1)=1^2-6*1+4 = -1}\)
\(\displaystyle{ f(4)=4^2-6*4+4 = 16 - 24 + 4 = -4}\)

Dalej liczymy wspolrzedna \(\displaystyle{ x_w}\) i sprawdzamy czy nalezy do przedzialu

\(\displaystyle{ x_{w} = \frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x_{w} = \frac{6}{2} = 3}\)

Nalezy do przedzialu. Czyli funkcja osiaga minimum (a>0) w punkcie wierzcholka.

\(\displaystyle{ f(3) = 3^2 - 6*3 +4 = 9-18+4 = -5}\)

Patrzymy na wyniki i dochodzimy do wniosku: Funkcja osiaga maksimum rowne -1, oraz minimum rowne -5.

Co do pierwszego zadania to poczytaj definicje postaci kanonicznej. To tylko kwestia podstawienia do wzoru.

[mat1989]

dzięki. a 1 zadanie wiesz jak rozwiązać?

[SzyszeK]

Masz wzor:

\(\displaystyle{ f(x) = a(x-p)^2 + q}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{-\Delta}{4a}}\)

Zrobie jeden przyklad:

\(\displaystyle{ y = x^2 + 5x + 4}\)
\(\displaystyle{ \Delta = b^2-4ac = 25 - 4*1*4 = 9}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{-5}{2}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{-9}{4}}\)

I podstawiasz do wzoru:

\(\displaystyle{ f(x) = 1(x-(\frac{-5}{2}))^2 + (\frac{-9}{4})}\)
\(\displaystyle{ f(x) = (x+\frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}}\)

[mat1989]

zrobiłem zadanie 1:
b)
\(\displaystyle{ y=-3x^2+12x+20\\ \Delta=144-4\cdot(-3)\cdot20=384\\ p=\frac{-12}{-6}=2\\ q=\frac{-384}{-12}=32\\ f(x)=-3(x-2)^2+32}\)
c)
\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2-\sqrt{2}x-\sqrt{3}\\ \Delta=8\\ p=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ q=\frac{-8}{2\sqrt{3}}\\ f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2-\frac{8\sqrt{3}}{6}}\)

mógłby ktoś to w wolnej chwili sprawdzić?

[Grzegorz Getka]

Bardzo dobrze

Ze względów estetycznych, zamiast:

\(\displaystyle{ \Large \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

Zapisuj:

\(\displaystyle{ \Large \frac{sqrt{6}}{3}}\)

[mat1989]

2.
b)
\(\displaystyle{ f(x)=x^2-4x-2, x\epsilon \\f(-1)=3\\f(3)=-5\\x_{w}=\frac{4}{2}\\f(2)=-6}\)
minimum w punkcie wierzchołka -6, maximum dla x=-1 rowne 3
c)
\(\displaystyle{ f(x)=-x^2+x\\ x_{w}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\\f(-1)=-2\\f(1)=0\\f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}}\)
minimum dla x=-1 rowne -2, maximum w punkcie wierzchołka równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
no to 2 zadanko też zrobiłem również możecie sprawdzić

[ Dodano: Czw Maj 11, 2006 9:04 pm ]

Bardzo dobrze

Ze względów estetycznych, zamiast:

\(\displaystyle{ \Large \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

Zapisuj:

\(\displaystyle{ \Large \frac{sqrt{6}}{3}}\)

oczywiście widzisz z \(\displaystyle{ \frac{-8}{2\sqrt{3}}}\) wyłączyłem niewymierność z mianownika, a z tego drugiego już zapomniałem, hehe

[SzyszeK]

c)
\(\displaystyle{ f(x)=-x^2+x\\ x_{w}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\\f(-1)=-2\\f(1)=0\\f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}}\)
minimum dla x=-1 rowne -2, maximum w punkcie wierzchołka równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

Tutaj jest blad. Skoro \(\displaystyle{ x_w=\frac{1}{2}}\) to liczysz \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2})}\), a nie \(\displaystyle{ f(-\frac{1}{2})}\).

[mat1989]

dzięki w sumie to dobrze miałem napisane na kartce ale źle przepisałem:D