W trójkącie ABC mamy |AB|=6, |AC|=21, |kąt BAC|=120 °
Oblicz:
a) sin | kąta ABC|
b) obwód trójkąta ABC
trójkat - sin
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1163
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
trójkat - sin
Do obwodu potrzebujesz tylko |BC|, któe liczysz z tw. cosinusów (wystarczą te dane które już mamy). Jak już masz wszystkie boki, to możesz ponownie przy pomocy odpowiednio przekształconego wzoru Carnota (czyli tw. cosinusów) wyliczyć cosinus kąta ABC i przekształcić w sinus z "jedynki trygonometrycznej" (pamiętaj, że kąt ten będzie z przedziału (0,90), więc nie ma co się przejmować założeniami co do znaku sinusa i cosinusa)
-
jozeff
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 1 mar 2006, o 20:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ss
- Podziękował: 1 raz
trójkat - sin
Moglbys to obliczyc, bo proboje z wzoru carnota |BC| ale ciagle zly wynik mi wychodzi.
-
renf7
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 17 lut 2006, o 23:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 3 razy
trójkat - sin
To chyba będzie tak
\(\displaystyle{ |BC|^2 = |AB|^2 +|AC|^2 + |AB|{\cdot}|AC|{\cdot}cos{|{\angle{BAC}}|}}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 6^2 + 21^2 + 6{\cdot}21{\cdot}cos120^o}\)
\(\displaystyle{ cos120^o=cos(90^o+30^o)=-sin30^o=-0,5}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 6^2 + 21^2 + 6{\cdot}21{\cdot}(-0,5)}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 36 + 441 - 63}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 414}\)
\(\displaystyle{ |BC| = 3{\cdot}{\sqrt{46}}}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |AB|{\cdot}|BC|{\cdot}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 21^2 = 6^2 + {\sqrt{414}}^2 + 6{\cdot}3{\cdot}{\sqrt{46}}{\cdot}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 441 = 36 + 414 + 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ -9 = 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|} = -9 //18{\sqrt{46}}}\)
\(\displaystyle{ cos{|{\angle{ABC}}|}=\frac{-9}{18{sqrt{46}}}=-\frac{1}{2{\sqrt{46}}}{\cdot}{\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}}=-\frac{sqrt{46}}{2{\cdot}46}}\)
\(\displaystyle{ cos{|{\angle{ABC}}|}=-\frac{sqrt{46}}{92}}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+{cos^{2}}{|{\angle{ABC}}|}=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+(-\frac{sqrt{46}}{92})^2=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+\frac{46}{8464}=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}=1-\frac{46}{8464}}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}=\frac{8418}{8464}}\)
\(\displaystyle{ {sin}{|{\angle{ABC}}|}=\sqrt{\frac{8418}{8464}}}\)
\(\displaystyle{ {sin}{|{\angle{ABC}}|}={\frac{\sqrt{8418}}{92}}}\)
\(\displaystyle{ Obw=|AB|+|BC|+|AC|}\)
\(\displaystyle{ Obw=21+6+3\sqrt{46}}\)
\(\displaystyle{ Obw=27+3\sqrt{46}}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = |AB|^2 +|AC|^2 + |AB|{\cdot}|AC|{\cdot}cos{|{\angle{BAC}}|}}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 6^2 + 21^2 + 6{\cdot}21{\cdot}cos120^o}\)
\(\displaystyle{ cos120^o=cos(90^o+30^o)=-sin30^o=-0,5}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 6^2 + 21^2 + 6{\cdot}21{\cdot}(-0,5)}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 36 + 441 - 63}\)
\(\displaystyle{ |BC|^2 = 414}\)
\(\displaystyle{ |BC| = 3{\cdot}{\sqrt{46}}}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |AB|{\cdot}|BC|{\cdot}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 21^2 = 6^2 + {\sqrt{414}}^2 + 6{\cdot}3{\cdot}{\sqrt{46}}{\cdot}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 441 = 36 + 414 + 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ -9 = 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|}}\)
\(\displaystyle{ 18{\sqrt{46}}cos{|{\angle{ABC}}|} = -9 //18{\sqrt{46}}}\)
\(\displaystyle{ cos{|{\angle{ABC}}|}=\frac{-9}{18{sqrt{46}}}=-\frac{1}{2{\sqrt{46}}}{\cdot}{\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}}=-\frac{sqrt{46}}{2{\cdot}46}}\)
\(\displaystyle{ cos{|{\angle{ABC}}|}=-\frac{sqrt{46}}{92}}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+{cos^{2}}{|{\angle{ABC}}|}=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+(-\frac{sqrt{46}}{92})^2=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}+\frac{46}{8464}=1}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}=1-\frac{46}{8464}}\)
\(\displaystyle{ {sin^2}{|{\angle{ABC}}|}=\frac{8418}{8464}}\)
\(\displaystyle{ {sin}{|{\angle{ABC}}|}=\sqrt{\frac{8418}{8464}}}\)
\(\displaystyle{ {sin}{|{\angle{ABC}}|}={\frac{\sqrt{8418}}{92}}}\)
\(\displaystyle{ Obw=|AB|+|BC|+|AC|}\)
\(\displaystyle{ Obw=21+6+3\sqrt{46}}\)
\(\displaystyle{ Obw=27+3\sqrt{46}}\)