[Nierówności] Trzy nierówności.

[kp1311]

Przy założeniach \(\displaystyle{ a,b,c>0, abc=1}\) wykaż że zachodzą następujące nierówności.

a) \(\displaystyle{ \frac{a}{b + c +1} + \frac{b}{c + a + 1} + \frac{c}{a + b + 1} \ge 1}\),
b) \(\displaystyle{ \frac{a}{ab + 1} + \frac{b}{bc + 1} + \frac{c}{ca + 1} \ge \frac{3}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}(b+c)} + \frac{1}{b^{2}(c+a)} + \frac{1}{c^{2}(a+b)} \ge \frac{3}{2}}\)

Mój problem z nimi polega na tym że patrząc na nie, nie widzę żadnej drogi przeprowadzenia dowodu, doszedłem do wniosku że dalsze próby samodzielnego rozwiązania to tylko strata czasu.

[tometomek91]

a)
\(\displaystyle{ b + c +1=x\\
c + a + 1=y\\
a + b + 1=z\\
\\
a=\frac{1}{2}(y+z-x-1)\\
b=\frac{1}{2}(z+x-y-1)\\
c=\frac{1}{2}(y+x-z-1)\\
\\
\frac{y+z-x-1}{x} + \frac{z+x-y-1}{y} + \frac{y+x-z-1}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-\frac{1}{x}-1+ \frac{z}{y}+\frac{x}{y}-\frac{1}{y}-1+ \frac{y}{z}+\frac{x}{z}-\frac{1}{z}-1=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+ \frac{z}{y}+ \frac{y}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}-3 = \frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+ \frac{z}{y}+ \frac{y}{z}-3- \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \ge 2+2+2-3- \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)=3 - \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\\
3-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \ge 1\\
-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \ge -2\\
x,y,z >1 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \le 2\\}\)

[smigol]

b/ a=x/y itd. i masz Nesbitt'a, z c/ pewnie tak samo.

[kp1311]

Po podstawieniu w a) dostaje:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}z}{yz^{2} + xy^{2} + xyz} + \frac{y^{2}x}{x^{2}z + z^{2}y + xyz} + \frac{z^{2}y}{x^{2}z + y^{2}z + xyz} \ge 1}\).

Wygląda na to ze jestem głupi, nie jestem w stanie pojąc jak z czegoś takiego mam dostać nesbitt'a.

[smigol]

ja mowie o podpunkcie b/ i c/ .oO

[kp1311]

ok, wyszło.

-- 19 mar 2010, o 18:32 --

-- 19 mar 2010, o 19:23 --

Wrzucam jeszcze jedną nierówność, przy tych samych założeniach co wcześniej:
\(\displaystyle{ a + b + c + ab(1-a) + bc(1-b) + ca(1-a) \le 3}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ a= \frac{x}{y}}\)itd.
Dochodzę do:
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} x^{2}(-x + y + z) \le 3xyz}\) i nie wiem co z tym dalej robić.

[timon92]

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} x^{2}(-x + y + z) \le 3xyz}\) i nie wiem co z tym dalej robić.

to jest Schur

[kp1311]

Teraz mam problem z takim czymś (znowu te same założenia):
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{3}(b+nc)} + \frac{1}{b^{3}(c+na)} + \frac{1}{c^{3}(a+nb)} \ge \frac{3}{1+n}, n \in N}\)

Po takim samym podstawieniu jak ostatnio dostaje:
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{y^{3}}{x^{3}y + nx^{2}z^{2}} \ge \frac{3}{1+n}}\)
jak to ugryźć?

[Wasilewski]

Pomnóż lewą stronę przez \(\displaystyle{ (abc)^2}\), a prawą przez \(\displaystyle{ (abc)}\). Do lewej możesz zastosować nierówność Schwarza i dalej powinno być prosto.

[kp1311]

znowu się machnąłem przy przepisywaniu, tam gdzie napisałem że coś jest podniesione do drugiej potęgi powinno być podniesione do trzeciej, już poprawiam.

[binaj]

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{3}(b+nc)} + \frac{1}{b^{3}(c+na)} + \frac{1}{c^{3}(a+nb)} = \sum \frac{(bc)^2}{a(b+nc)} \ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{(n+1)(ab+bc+ca)} \ge \frac{3 \sqrt[3]{(abc)^2}}{n+1}= \frac{3}{n+1}}\)

[kp1311]

Mógłbyś rozpisać bardziej drugie przejście?

[binaj]

nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela