Kangur 2010r.

[justynian]

Racja w 25 ma być B.

[kangurka]

dzięki timon. Możesz rozpisać 11? I jaka to liczba w 15?

[johnny]

w 11 moim zdaniem D

1, 1, 2
1, 2, 3
2, 2, 4
3, 2, 5
4, 2, 6
2, 1, 3
2, 3, 5
2, 4, 6

ale moge sie mylic

[bananowiec666]

moje do juniora

1d
2d
3c
4b
5b
6b
7e
8d
9c
10d
11a
12b
13b
14b
15e
16c
17d
18e
19c
20b
21b?
22c?
23d???
24a?
25a
26a
27e
28e

ostatnich dwóch nie mam

[timon92]

tak, johnny ma rację, 11 D, już poprawiam

[n0need]

co do odpowiedzi timona nie mam pojęcia dlaczego:

11. E ? (dla mnie D) //edit: ok.
bo
112 123
213 224
325 235
426 246
?
15. B (?). (Dla mnie A)
bo
każda liczba pierwsza 3 cyfrowa musi być nieparzysta, odejmując 1 mamy liczbę parzystą - która przynajmniej raz dzieli się przez dwa. Potem w rozkładzie znajdziemy znów liczbę pierwszą - przynajmniej drugą lub powtórzenie 2.

17. Jak wam to wyszło? Zacząłem myślenie od znajdowania takich trójkątów w kwadracie, 6 kącie, 8 kącie i wyszedł wzór (3*n)/2 ale się i tak nie zgadzał.

20. ?? Czemu nie A?

No i dokładne rozwiązania24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 byłoby mile widziane jako wartość dydaktyczna. Bo myślałem to i owo, co nieco zaznaczyłem ale ciekaw jestem jak to zgrabnie zrobiliście.

ad 28 E
też wyszło mi E, ale nie jestem tego pewien. Ponieważ jest to liczba skończona (2010 cyfr po przecinku), to czy dalej możemy myśleć w ten sposób, że to iloczyn\(\displaystyle{ \sqrt{(2*1111111.......) / (3*11111......) *(2*11...)/(3*111....)} = 2/3 = 0.666....6}\) ?

[johnny]

odnosnie zadania 15 jeszcze w studencie
jedna taka liczba pierwsza tylko p=257
wtedy p-1=256=2*2*2*2*2*2*2*2

[timon92]

student 15. Mamy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ p-1=q^n}\) w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ p,q}\) i liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Widać, że q jest parzyste, czyli q=2, dalej wystarczy sprawdzić liczby 129, 257, 513 i tylko 257 jest ok

student 17. Opisujemy okrąg na tym wielokącie, trójkąt prostokątny będzie, jak jeden bok będzie średnicą. Średnicę można wybrać na 7 sposobów, a pozostały wierzchołek wybieramy z pozostałych 12. czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ 7 \cdot 12}\)

student 20. Za pierwszy znaczek dajemy plus, za resztę mnożenie.

będę tu dopisywał rozwiązania za 5 punktów ze studenta, bo widzę, że jest zainteresowanie

student 21. Zwykłe rozpisywanie kątów, wychodzi 120 stopni

student 22. powiedzmy, że wszyscy powiedzieli prawdę. Wówczas suma liczb = 5050. Teraz będziemy chcieli jak najbardziej obniżyć tę liczbę. powiedzmy, że ostatni powiedział, że jest pierwszy, wtedy suma zmaleje o 99, ale dalej jest to więcej niż 4000. No to zawodnik 99. powiedział, że jest pierwszy. Dalej za dużo. itd... wychodzi, że co najmniej 12 skłamało

student 23. Z Talesa łatwo liczymy, że \(\displaystyle{ PD = \frac{2}{3} \sqrt{2} ; QD = \frac{4}{5} \sqrt{2}}\), czyli \(\displaystyle{ PQ = \frac{2}{15} \sqrt {2}}\), czyli pole \(\displaystyle{ [PQA] = \frac{2}{15} [ABD] = \frac{1}{15} [ABCD] = \frac{1}{15}}\)

student 24. (2,0) majoryzuje (x,y) majoryzuje (1,1), czyli z nierówności Karamaty i funkcji wypukłej \(\displaystyle{ x^3}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0,\infty>}\) mamy natychmiast \(\displaystyle{ 8 = 2^3 + 0^3 \ge x^3 + y^3 \ge 1^3+1^3 = 2}\)

student 25. liczymy długości odpowiednich odcinków i okazuje się, że wychodzi \(\displaystyle{ \tg 30 ^\circ = \frac{ \frac{a-b}{2} \sqrt {2} }{ \frac{a+b}{2}\sqrt{2} }}\); po prostych przekształceniach dochodzimy do odpowiedzi

student 26. Wykonane zostanie 9 ruchów, więc początkowa suma zmniejszy się o 9.

student 27. Mnożymy licznik przez (3-2) i kilkakrotnie wzór skróconego mnożenia

student 28. Można było ręcznie sprawdzić co się dzieje dla liczb \(\displaystyle{ \sqrt{0,44}, \sqrt{0,444}, \sqrt{0,4444}, \sqrt{0,44444}}\) i zauważyć prawidłowość

student 29. podstawienie \(\displaystyle{ x:=2010/x}\), i wyliczyć z układu równań f(x), a potem podstawić 6

student 30. Lemma: Dana jest prosta \(\displaystyle{ l}\) i punkty \(\displaystyle{ A,B}\) leżące po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ l}\). Rozważamy punkty \(\displaystyle{ X}\) leżące na prostej \(\displaystyle{ l}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że \(\displaystyle{ AX+BX = min}\) jest taki, że kąt między \(\displaystyle{ AX}\) i \(\displaystyle{ l}\) jest równy kątowi między \(\displaystyle{ BX}\) i \(\displaystyle{ l}\)

Niech ten trójkąt będzie \(\displaystyle{ ABC}\), przy czym \(\displaystyle{ BC=a, AC=b}\). Korzystając z lematu widzimy, że optymalnie będzie, gdy \(\displaystyle{ \angle QPC = \angle APK ; \angle CQP = \angle HQP}\). Wówczas widzimy kilka trójkątów podobnych. Potem to tylko korzystanie z ich proporcji

[n0need]

15. uuuh... rzeczywiście trafne spostrzeżenie.
17. Też dzięki, takie proste ^_^
20. Zrobiłem tak samo, i czegoś mi brakuje którejś klepki. Aaaaaaaaa....... no i lipa. Kolejność wykonywania działań się kłania. oops.

dzięki.

[madziutek]

w juniorze w zadaniu 25 co ma być...?? ;]

[Pierniki z Torunia]

Czemu w 11 masz D 8 ?

[Pszczola321]

Timon ale jak w zadaniu 20 wszystko się wymnoży (1+2 i reszta mnożenie) to wychodzi liczba parzysta czyli najmniejszy dzielnik pierwszy to 2... czy coś źle myślę?

[Adami07]

Adami, jak zrobiłeś(tzn rozłożyłeś) odpowiedz D w zadaniu 21 że Ci wyszło 64?

14=2+3+4+5
24=7+8+9
103=51+52
2010=669+670+671

[timon92]

Timon ale jak w zadaniu 20 wszystko się wymnoży (1+2 i reszta mnożenie) to wychodzi liczba parzysta czyli najmniejszy dzielnik pierwszy to 2... czy coś źle myślę?

kolejność wykonywania działań jest bezlitosna

[Pszczola321]

A to wspaniale... a z tym dzielnikiem pierwszy w zadaniu 15 to myślałem że tylko jeden dzielnik, czyli nie np. 10 dwójek tylko jedna i koniec ;<