[Funkcje] lemat o funkcji wypukłej

[max]

Niech \(\displaystyle{ I\subset \mathbb{R}}\) będzie przedziałem otwartym i niech \(\displaystyle{ f: I\to \mathbb{R}}\) będzie funkcją wypukłą.
Pokaż, że istnieją ciągi \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}, \ \{b_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb rzeczywistych takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in I}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ f(x) = \sup_{n\in \mathbb{N}}(a_{n}x + b_{n}).}\)

[mzs]

Szkic rozwiązania. Niech \(\displaystyle{ (q_i)}\) będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych ze zbioru \(\displaystyle{ I}\). Ustalmy \(\displaystyle{ q_i}\). Rozpatrując jednostronne granice dolne ilorazów różnicowych w punkcie \(\displaystyle{ q_i}\) stwierdzamy, że istnieją \(\displaystyle{ a_i, b_i}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x) \ge a_{i}x + b_i}\) i \(\displaystyle{ f(g_i)=a_{i}q_{i}+b_i}\), co geometrycznie oznacza, że istnieje w \(\displaystyle{ q_i}\) styczna do wykresu \(\displaystyle{ f}\), która jest pod wykresem f. Wtedy mamy \(\displaystyle{ f(x)=\sup_{n}(a_n x + b_n)}\).

PS. Moim zdaniem nie ten dział. Powinno być analiza/rachunek różniczkowy