Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Niech \(\displaystyle{ u,v,t}\) pierwiastki równania. Ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ \frac{d}{a} =-uvt}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{a} =uv+ut+vt}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{a} =-u-v-t}\)
Wtedy zależność pomiędzy współczynnikami da nam: \(\displaystyle{ -15=-8uvt-6(u+v+t)+4(uv+vt+ut)}\)
Załóżmy, że wszystkie pierwiastki są ujemne i z ostatniego równania wyraźmy któryś pierwiastek, za pomocą dwóch pozostałych: \(\displaystyle{ t(u,v)=\frac{4 uv-6 u-6 v+15}{8 u v-4 u-4 v+6}}\)
Widzimy, że gdy u,v ujemne, to zarówno w liczniku jak i w mianowniku są liczby dodatnie, a więc sprzeczność...
Jeszcze trzeba rozważyć przypadek dwóch zespolonych sprzężonych... iloczyn da kwadrat modułu (dodatni), suma: podwojoną część rzeczywistą... hmm... myślę, że jakoś pójdzie dalej...
Niech \(\displaystyle{ A=15a+6b+4c+8d=0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) to np. \(\displaystyle{ f(1)=0}\). Można założyć, że pierwsza niezerowa liczba w ciągu \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) jest dodatnia. Nie wprost. Niech \(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(0)=d \ge 0}\) i \(\displaystyle{ f(2)+2f(1)>0}\), ale \(\displaystyle{ f(2)+2f(1)=f(2)+2f(1)-A=-5a-5d<0}\). Sprzeczność. (Mam nadzieję, że się nie pomyliłem)
