Basen : równanie rózniczkowe

[arecek]

Basen o pojemności 10 000 litrów zawiera 100 litrów czystej wody. Do basenu wlewa się woda o skażeniu 50% z prędkością 20 litrów na minute. Przez otwór spustowy ciecz wylewa się z prędkością 10 litrów na minute. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika.
Nie bardzo wiem jakie równanie powinienem ułożyć.

[luka52]

Wprowadźmy oznaczenia: \(\displaystyle{ V(t) = V_0 + (v_{in} - v_{out}) t}\), gdzie \(\displaystyle{ V(t)}\) to objętość wody w zbiorniku w dowolnej chwili czasu \(\displaystyle{ t}\), \(\displaystyle{ V_0 = 100 \; \text{l}}\) - początkowe wypełnienie zbiornika, \(\displaystyle{ v_{in} = 20 \; \text{l} \cdot \text{min}^{-1}}\) - szybkość z jaką wlewana jest woda, \(\displaystyle{ v_{in} = 10 \; \text{l} \cdot \text{min}^{-1}}\) - szybkość, z jaką woda wypływa oraz \(\displaystyle{ \eta (t)}\) - zanieczyszczenie (procentowe) wody w funkcji czasu. Rozważmy dalej dowolną chwilę \(\displaystyle{ t}\) napełniania zbiornika. Po chwili \(\displaystyle{ \mbox d t}\) masa substancji zanieczyszczającej zwiększyła się o \(\displaystyle{ \mbox d \left( V(t) \, \eta (t) \right) \; \; (\star )}\). Z drugiej strony jest to równe różnicy masy substancji, jaka dopłynęła otworem wlotowym i wypłynęła otworem wylotowym, czyli \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2} v_{in} \, \mbox d t - \eta (t) v_{out} \, \mbox d t \; \; (\dagger )}\). Pozostaje przyrównać \(\displaystyle{ (\star )}\) z \(\displaystyle{ ( \dagger )}\) i rozwiązać równanie różniczkowe, pamiętając o warunkach początkowych.