Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie: \(\displaystyle{ |x-m|+|x-7|=3}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Będę wdzięczna za pomoc
dla jakiego m
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
dla jakiego m
Żeby to równaniae miało nieskończenie wiele rozwiązań, musimy po opuszczeniu jednego modułu ze zmianą znaku, a drugiego bez zmiany znaku (tak, żeby x się skróciło) otrzymać równość prawdziwą.
Możliwe są dwa przypadki:
1. opuszczamy pierwszy moduł bez zmiany znaku (można tak zrobić, o ile \(\displaystyle{ x-m \ge 0}\)) oraz opuszczamy drugi moduł ze zmianą znaków (mozna tak zrobić, o ile \(\displaystyle{ x-7 \le 0}\)). Obie zależności muszą być spełnione jednocześnie, czyli musi istnieć przedział \(\displaystyle{ <m,7>}\), zatem \(\displaystyle{ m \le 7}\).
Otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ x-m-x+7=3}\)
\(\displaystyle{ m=4}\)
To równanie jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in <m,7>}\) wtedy, gdy \(\displaystyle{ m=4}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 4 \le 7}\), to znalezione m spełnia warunki zadania.
2. opuszczamy pierwszy moduł ze zmianą znaków, a drugi bez zmiany znaków (spróbuj to rozważyć sama)
Możliwe są dwa przypadki:
1. opuszczamy pierwszy moduł bez zmiany znaku (można tak zrobić, o ile \(\displaystyle{ x-m \ge 0}\)) oraz opuszczamy drugi moduł ze zmianą znaków (mozna tak zrobić, o ile \(\displaystyle{ x-7 \le 0}\)). Obie zależności muszą być spełnione jednocześnie, czyli musi istnieć przedział \(\displaystyle{ <m,7>}\), zatem \(\displaystyle{ m \le 7}\).
Otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ x-m-x+7=3}\)
\(\displaystyle{ m=4}\)
To równanie jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in <m,7>}\) wtedy, gdy \(\displaystyle{ m=4}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 4 \le 7}\), to znalezione m spełnia warunki zadania.
2. opuszczamy pierwszy moduł ze zmianą znaków, a drugi bez zmiany znaków (spróbuj to rozważyć sama)
